Әл-фарабидың математикасы

Әбу Насыр бала күнінен ғылымға үйір болып өсті, оның бақытына қарай сол заманда Отырарда аса бай кітапхана бар еді. Әл-Фараби парсы, грек тілдерін үйренеді, осы тілде ғылыми трактаттар оқиды. Фараб пен Бұқарада бастапқы білім алған соң әл-Фараби өз білімін жетілдіру мақсатында Бағдатқа аттанады. Фарабидің дүниетанымының қалыптасуына Мерв мектебінің ғылыми дәстүрлері мен философиялық бағдарлары өз әсерін қалдырды. Бағдадта әл-Фараби ғылым мен әртүрлі пәндерді оқиды. Білімге деген құштарлығының арқасында әл-Фараби сол уақыттағы ғылым мен білімнің ордасы саналған Дамаск, Халеб, Каир, Шаш, Самарқан, Бұхара, Мерв, Нишапур, Рей, Хамадан қалаларында да болып, білімін үнемі жетілдірумен болды. Сол қалаларда оқыды, еңбек етті. Шығыстың осы шаһарларында ол өз дәуірінің ең көрнекті ғалымдарымен, көркем сөз деректерімен танысады. Олардан тәлім-тәрбие алады.

Әл-Фараби – көрнекті ойшыл, өзінің замандастарының арасындағы ең ірі ғалым, философ және шығыс аристотелизмінің ең ірі өкілі. Өзінің білімділігі мен сауаттылығының арқасында “Екінші Ұстаз” атауына ие болды. Әл-Фарабидің шығармашылық мұрасы орасан зор (150-ге жуық философиялық және ғылыми трактаттар), ал оның айналысқан ғылыми салалары ол – философия мен логика, саясат пен этика, музыка мен астрономия. Ғылыми еңбектерінің ең әйгілісі “Қайырымды қала тұрғындарының көзқарастары жайлы трактат” деп аталады. Оның атақты “Музыка туралы үлкен трактат” деген шығармасы әлемнің көптеген тілдеріне аударылған.

Әл-Фараби философия саласы бойынша грек ойшылы Аристотельдің “Категориялар”, “Метафизика”, “Герменевтика”, “Риторика”, “Поэтика”, бірінші және екінші “Аналитика”, “Топикасы” және т.б көптеген еңбектеріне түсініктемелер жазды.

Әбу Насырдың Платон және Аристотель философиясындағы идеяларға арналған кітабы оның философия саласындағы аса көрнекті ғалым екенін әрі философия пәнін терең меңгергенін дәлелдейді. Фараби Аристотельдің әлеуметтік-қоғамдық идеяларын дамыта отырып, өз тарапынан да “Кемеңгерлік меруерті”, “Ізгі қала тұрғындарының көзқарасы”, “Мәселелердің түп мазмұны”, “Ғалымдардың шығуы”, “Бақытқа жету”, “Азаматтық саясат”, “Мемлекеттік қайраткерлердің нақыл сөздері” сияқты көптеген сындарлы философиялық еңбектер жазған. Фараби бұл еңбектерде дүние, қоғам, мемлекет, адамдардың қатынастары туралы заманнан озық тұрған пікірлер, пайымдаулар айтады.

Әл-Фарабидің еңбектері күні бүгінге дейін өз мән-маңызын жоғалтқан жоқ. Әл-Фарабидің мемлекет, ел басқару жөніндегі тұжырымдары, әлеуметтік-этикалық саяси көзқарастары бүгінгі қоғам үшін де айрықша маңызды. Оның еңбектері еуропалық Ренессанстың өрлеуіне үлкен ықпал етті. Фараби Шығыс пен Батыстың ғылымы мен ежелгі мәдениетін табыстыруда зор рөл атқарды.

Қазақстанда Фараби еңбектерін ең алғаш рет жинау , зерттеу , таныстыру жұмысын өз тарапынан мойнына алып , көп пайдалы іс атқарған адам – Қазақстан Республикасы Ғылым Академиясының коореспондент – мүшесі , профессор Ақжан Жақсыбекұлы Машанов . Оның Фараби өмірі тарихи орны туралы мақалалары газет , журналдарда жарияланды , жинақтарда шықты . Фарабидің ғылыми мұралары жөнінде ол әлденеше рет республика , бұрыңғы одақтық көлемде , халықаралық конгрестерде баяндама жасады . Фараби еңбегін алғаш рет қазақ тіліне аударғаны да мәлім. Фарабидің жер жүзі елдерінің кітапханаларында шашырап жатқан еңбектерін іздестіріп тауып , бірталайының көшірмесін алдырғанда профессор А. Машанов , ал 1968 жылы араб елдеріне саяхат жасап , араб ғалымдарымен кездесіп , Фарабидің Шам / Дамаск / шаһарындағы зиратын іздеп тауып , суретін түсіріп әкелді .
Әл-Фараби еңбектері

Сол заманнан шыққан ғалымдардың ерекше дарынды, әлемге танылған, көптеген ғылыми еңбектер жазып, әлемге әйгілі болған Әбу Нәсір әл – Фараби. Бір өкініштісі әл – Фарабидің көптеген еңбектері бізге жетпеді.

Осы кезге дейін оқулықтарда, тарихи энциклопедияларда, геометрия мен тригонометрия тек Грецияда дамыды және оның дамуына үнді математиктері үлес қосып, араб, өзбек математиктері де зерттеумен айналысты деп жазылған. Бір өкініштісі – математикада көптеген жаңалықтар ашып, синус, косинус, тангенс, котангенс функцияларын математикаға ең алғаш енгізіп, зерттеген қазақтың ғұлама ғалымы, шығыстың екінші Аристотелі - Әбу Нәсір әл – Фарабидің есімі математик ретінде аталмауы.

Әл – Фарабидің математикалық трактаттары 1950 – 1960 жылдары Еуропа мемлекеттерінің архивтерінен ғана табылып, академик А.Машанов, профессор А.Көбесов және т.б. ғалымдардың еңбектерінде жарық көріп, көпшілікке таныла бастады. Бірақ та математикалық оқулықтарда оның ашқан математикалық жаңалықтарына, әсіресе «Математикалық трактатына» ешқандай сілтемелер жасалынбады.

Осы кезге дейін А. Көбесовтің 1960 жылдары «Білім және еңбек» журналында жарияланған мақалалары, «Математическое наследие Аль – Фараби» т.б. еңбектері жарық көрсе де, мектеп курсында оқушыларға Әбу Нәсір әл – Фарабидің математикада, оның ішінде геометрия мен тригонометрияда алатын орны туралы оқушылар түгіл, мұғалімдер де ешнәрсе айта алмайды. Қорыта айтқанда, ғылыми жобаның маңыздылығы:

1) «Математикалық трактаттардағы» әл-Фарабидің еңбектерін көпшілікке, ең болмағанда, мектеп оқушыларына насихаттау;

2) Мектеп математикасында тригонометрияны оқу барысында әл-Фарабидің математикалық трактаттарына сілтемелер жасау;

3) Геометриялық салу сабағында әл-Фарабидің идеяларын ұтымды пайдалана білу қажеттілігі.

Фарабиде математикалық астрономия мен географияның әр түрлі есептерін математикалық жолмен шешу қажетінен туған үлкен де жүйелі тригонометрия бар.Ол мағлұматтар ғұламаның «Алмагестке қосымша кітабы» атты еңбектерінде баяндалған. («Алмагест» б.з. 2-ғасырында өмір сүрген гректің ұлы астрономы Птоломейдің еңбегі.)

Ежелгі грек математиктері дөңгелек шеңберінде 360, диаметрінде 120 бөлік бар деген бастапқы ұғымды басшылыққа алып, осылар арқылы хорданың ұзындығын табу мәселесін шешкен, былайша айтқанда, олар тригонометриялық бір – ақ функциясы – бұрыштың хордасын табуды көздеген. Олардан кейін шыққан Индия математиктері хорданы – синус пен косинус сызықтарымен айырбастап, бұл салада біраз ілгері кетеді.

Фарабиге дейінгі араб математиктері бұларға қосымша тангенс және котангенс (кері және тура көлеңке) сызықтарын қосқан, бірақ оларды күн сағаттарында (гномоникада) пайдаланған. Фараби өз еңбектерінде осы мағлұматтарды бір жүйеге келтіріп, оларды бірыңғай бірлік дөңгелек ішінде қарастыруды бастайды. Ең әуелі синус пен хорданың ара – қатынасын анықтап алады: синус дегеніміз екі еселенген доғаның (бұрыштың) жарым хордасы. Бұл жаңалық дөңгелекке іштей сызылған тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарына байланысты тригонометриялық функцияларды астрономияға кеңінен енгізуге жол ашты.

Жоғарыда Фарабидің «Математикалық трактаттарына» енген – «Алмагеске қосымша кітаптың» математикалық тарауларында оның тригонометриялық сызықтары туралы теориясы баяндалады.

«Хорда мен синустар қасиеттері туралы» бірінші тарауда мынадай тригонометриялық сызықтар анықтайды. Хорда(ватар), косинус(джайб тамам) және синус-версус(сахим), олардың қасиеттерін сипаттайды.

«Бірінші және екінші көлеңкенің қасиеттері туралы» деп аталған он екінші тарау – Фарабидің тригонометриялық функциялар(сызықтар) жайлы ілімнің негізгі болып саналады. Мұнда ол математика тарихында алғашқылардың бірі болып, барлық тригонометриялық сызықты бірлік дөңгелек ішінде қарастырылады. Фараби тригонометрия тарихында тұңғыш рет кері көлеңке(тангенс), тура көлеңке(котангенс) терминдерін ғылыми – методикалық жағынан кемел жаңа терминдермен – «бірінші көлеңке», «екінші көлеңкемен» ауыстырады.

Фараби «Алмагеске түсініктемесінің» бірінші кітабына Птоломейдің хордалар таблицасын жасау жөніндегі теориясын жаңартып, кемелдендіріп, бір градустың хордасы, синусы, косинусын табу жөніндегі өз ілімін жасайды. Мұнда шешуші рөл атқаратын Птоломей теоремасын ғұлама былай өрнектейді: «Әрбір іштей сызылған төртбұрышта қарама – қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысы сол төртбұрыштың диагональдарының көбейтіндісіне тең болады.»

Сонан кейін, Фараби осы лемманың көмегімен екі бұрыштың айырмасының синусы формуласын қорытып шығарады. Осы сияқты екі бұрыштың қосындысының синусына сай келетін қатыс дәлелденеді.

Фараби осы формаларды пайдаланып және Птоломей әдісінің есептеу дәлдігін арттыру арқылы бір градусының хордасын есептеп шығарады. Осыдан синусқа көшу қатынасына сүйеніп бір градустың синусы мен косинусы үшін дәлдігі жоғары мәндер табады (алпыстық бөлшекпен өрнектелген). Мысалы ондық бөлшекке көшсек, бір градустың синусы үшін Фараби 0,017452389 мәнін алғандығы байқалады. Бұл сол кез үшін өте үлкен дәлдік болып саналады.

Фараби өзінің тригонометриялық жетістіктерін жазық және сфера бетіндегі үшбұрыштарды шешуге қолданылады. Бұл геодезия, астрономия үшін қажет.

Ғұлама кез – келген дөңгелекке іштей сызылған жазық үшбұрыш үшін синустар теоремасына балама мынадай лемманы тұжырымдайды:Егер бұрыштары белгілі болса, онда олардың қабырғаларының қатынасы да анықталады. Егер бұрыштар дөңгелекке іштей сызылса және әрбір бұрыштың доғасы мәлім болса, онда ол – сәйкес хорданың диаметрге қатынасындай, мұнда егер бұрыш тік болса, онда оның хордасы – диаметрге тең. Сондықтан егер бұрыштардың біреуі немесе басқа қабырғасы мен оның тік бұрыштың хордасына қатынасы белгілі болса, онда басқа бұрыш тірелетін доғаны табуға жеткілікті болады; мұнан кейін берілетін доғаны жарты дөңгелекке дейін толықтыратын қалдық доға және үшінші қабырға болып табылатын оның хордасы табылады.»

Фараби сфералық тригонометрия саласы бойынша да үлкен маман болған. Мұнда жазықтық геометриясындағы түзулер орнына шар шеті, яғни сферадағы үлкен дөңгелек шеңберлерінің доғалары алынады да, жазық үшбұрыштар орнына сфералық үшбұрыштар қарастырылады.

Фараби өзінің тригонометриялық методтарын астрономия мәселелерін шешуге тиімді пайдаланады, ол Шығыста математикалық астрономияны дамытушылардың бірі.

(2)

шығады.