Жиындар теориясын логикалық есептер шығаруда қолдану. Қарамулдина Ә. Д. 7”А”, М. Жұмабаев атындағы №39 мектеп-гимназия



Дата12.03.2018
өлшемі80,67 Kb.
ЖИЫНДАР ТЕОРИЯСЫН

ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ.

Қарамулдина Ә.Д.

7”А”, М.Жұмабаев атындағы № 39 мектеп-гимназия

Қарағанды қаласы

Жетекшісі: Абекбаева Ж.Б.

Жиын және оның элементтері.

Ішкі жиын.

Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845-1918) болды.



Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т.с.с.

Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, “планета” сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады.



Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар жиыны A – шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын.

Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B. Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”.

Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N.

Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c ¢ A. Оқылуы:”c A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ¢ N.

Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын.

Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп сандар жиыны – B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті. Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны – A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделеді.


Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген.

Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A. Мұндағы A - қандай да бір жиын.

Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.


Жиындардың қиылысуы. Жиындардың бірігуі.

A жиынына да, B жиынына да тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды A және B жиынының қиылысуы деп атайды.
1-есеп. Сыныпта 16 ұл бала бар. Олардың 14-і бос уақытында футбол ойнағанды ұнатады, 9-ы шахмат ойнағанды ұнатады. Бұл ойындарға сыныптағы барлық ұл балалар қатысады. Сыныптағы неше оқушы бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнатады?
Шешуі: Бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны – A, n(A)=14. Бос уақытында шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны – B, n(B)=9.


  1. 14 + 9 = 23 – бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын және шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдар саны.

  2. 23 – 16 = 7 – бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын сыныптағы ұлдар саны.

Сыныптағы футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын ұлдар жиыны



C болсын, онда n(C)=7. Демек, C жиыны – A және B жиындарының қиылысу жиыны, себебі мұндағы әрбір ұл бала A жиынына да, B жиынына да тиісті (ортақ).
Есептің шешуі Эйлер-Венн дөңгелектерімен былай кескіндейміз.

A B = C





Әрбір элементі A немесе B жиындарының кем дегенде біреуіне тиісті болатын жиын A және B жиындарының бірігуі деп аталады.

2-есеп. Бір топтағы туристердің 10-ы қазақ тілін біледі, 8-і орыс тілін біледі, олардың 3-еуі қазақ тілін де, орыс тілін де біледі. Топта барлығы неше турист бар?
Шешуі: Бір топ туристердің қазақ тілін білетіндердің жиыны – A; n(A)=10.

Орыс тілін білетіндерінің жиыны – B; n(B)=8.



  1. 10 + 8 = 18 – топ ішіндегі туристердің қазақ тілін білетіндердің және орыс тілін білетіндердің саны.

  2. 18 – 3 = 15 – топ ішіндегі туристер саны.

Топтағы туристер D жиынын құрайды n(D)=15. Демек, D жиыны өзара қиылысып тұрған A және B жиындарының бірігуі болып табылады.


Есептің шешуі Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы былай кескіндейміз.

А U B = D





3-есеп: Жасыл, қызыл және сары түсті шарлардан тізбе жасалған. Ондағы сары түсті емес шарлар саны 23. Қызыл түсті емес шарлар саны 20. Жасыл түсті емес шарлар саны 15. Тізбеде барлығы неше шар бар? Жасыл түсті шар нешеу? Сары түсті шар нешеу?
Шешуі: Сары түсті емес шарлар – 23, қызыл түсті емес шарлар – 20, жасыл түсті емес шарлар – 15.


  1. 23 + 20 + 15 = 58;

  2. 58 : 2 = 29;

  3. 29 – 15 = 14;

  4. 29 – 23 = 6.


Жауабы: барлығы 29, жасыл түсті 14, сары түсті 6.


4-есеп: Қалаға 22 турист келді. Кешкі демалыс кезінде 9 турист драма театрына барғысы келді, 12 турист демалыс паркіне барып дем алғысы келді, ал олардың ішінде 5 турист драма театрына да, демалыс паркіне де барғысы келді. Қалғандары стадионға барып, футбол ойынын көргісі келді. Неше турист стадионға барып, футбол ойынын көргісі келді?
Шешуі: Барлығы – 22 турист, драма театрына – 9 турист, демалыс паркіне – 12 турист. Демалыс паркіне де, драма театрына да – 5 турист.


  1. 12 + 9 = 21;

  2. 21 – 5 = 16;

  3. 22 – 16 = 6.


Жауабы: 6 турист стадионға барды.


ӨНЕРЛІ ЖАСТАР

Ойын-сауыққа барлығы 38 жас жігіттер мен қыздар жиналған. Олардың 16-сы ән салады. Ал 17-сі би билейді, 18-і домбырада ойнайды. Ал олардың төртеуі ән де салады, би де билейді, үшеуі ән де салады, домбыра да тартады, бесеуі би де билейді, домбыра да тартады. Ал үшеуі ғана ән де салмайды, би де билемейді, домбыра да тартпайды. Сонда неше жастың бойында үш өнер де бар, неше жастың бойында тек бір ғана өнер бар?



Шешуі: Бойында үш өнер де бар жастарды x деп белгілейміз. Сонда тек әнмен шұғылданатын жастар: 16 - /4+x+3/ - 9 – x, тек бимен шұғылданатын жастар:

17 - /4+x+5/ = 8 – x.

Тек домбырамен шұғылданатын жастар: 18 - /3+x+5/ = 10 – x.

Егер есептің шарты бойынша салынған суретті пайдаланып, теңдеу құрсақ:

3 + /9-x/ + /8-x/ +/10-x/ + 4 +3 + 5 +x = 38.

Теңдеуді шешіп, x = 2 аламыз. Сонда




  1. 9 – 2 = 7;

  2. 8 – 2 = 6;

  3. 10 – 2 = 8;

  4. 7 + 6 + 8 = 21.


Жауабы: Екі жастың бойында үш өнер де бар, ал жиырма бір жастың бойында тек бір ғана өнер бар.

















ҚАЗАҚ ҮЙДЕГІ КІЛЕМДЕ

Аумағы 12 шаршы болатын қазақ үйдің ішіне кілем төселген. Біреуінің ауданы 5 шаршы, екіншісінікі 4 шаршы, үшіншісінікі 3 шаршы. Әрбір екі кілем бір жарым шаршы ауданға қабатталып төселген. Ал осы бір жарым шаршының жарты шаршысы, жердің барлық үш кілем қабатталып төселген бөлігіне тура келеді. Жердің кілем төселмеген ауданы қандай?



Шешуі: Кілемдерді де және қазақ үйді де сыртқы дөңгелек ретінде қарастырсақ,

суреттегі боялған бөлік үш кілем қабаттасқан жерді көрсетеді:





  1. 5 – 2,5 = 2,5;

  2. 4 – 2,5 = 1,5;

  3. 3 – 2,5 = 0,5;

  4. 2,5 + 1,5 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 8;

  5. 12 – 8 = 4.



Жауабы: 4 шаршы.
















Достарыңызбен бөлісу:


©www.engime.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет