Правильные многогранники: от теории до моделей прикладной проект по математике



бет12/12
Дата03.12.2016
өлшемі1,6 Mb.
#3107
түріРеферат
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
4.3. Конструктор из многоугольников

Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек – основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники (рис. 41-43) в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунках.



Рис. 41


Рис. 42


Рис. 43


4.4. Многогранники из ленты

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 44 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.



Рис. 44


Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 45). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата .



Рис. 45

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения Амых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков – иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.



Построение октаэдра (рис. 46) и икосаэдра (рис. 47) осуществляется на основе узора из правильных треугольников. Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра – из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.



Рис. 46

Рис. 47


Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные – совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр. В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера «О шестиугольных снежинках» есть очень меткое замечание: «Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой…» Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.

 

Заключение



Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей жизни – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов. Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. 

К сожалению, в школьном курсе геометрии вопросам о правильных многогранниках не уделяется достаточно много внимания. В результате работы над проектом были достигнуты следующие результаты:



- изучена и обобщена информацию по теме «Правильные многогранники», в том числе мы показали, что с помощью теоремы Эйлера можно получить ответ на вопрос: какие правильные многогранники могут существовать.

  • рассмотрены различные теории о связи правильных многогранников с устройством мира и природы, а также их использование в искусстве;

  • подготовлен диск с комплектом учебных материалов «Правильные многогранники, которые значительно расширяют и обогащают школьный учебник;

  • изготовлены модели (бумажные и каркасные) правильных многогранников и конструктор для их создания для использования в учебном процессе: так, например, с помощью бумажной модели можно показать форму многогранника, также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела, а каркасные модели позволяют показать виды, элементы и про­екцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бума­ги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел, такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Модели мо­гут быть использованы при решении задач, при выпол­нении практических и лабораторных работ.

Источники информации

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10 – 11 классов: учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1992. – 464 с.

  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия, 10 – 11: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.

  3. Венниджер М. Модели многогранников.- М.: Мир, 1974.

  4. ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия / [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki

  5. Гончар В.В. Модели многогранников. Приложение к журналу «Оригами. Искусство складывания из бумаги», М.: «Аким», 1997 г., 64 с.

  6. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн.для общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова.- М.: Просвещение, 1996. - 320 с.

  7. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2014 - 175 с.

  8. Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем мире. - М.: Мир и образование, 2005. - 256 с.

  9. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2011. – 621 с.

  10. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989. – 352 с.

  11. Черенков А., Храмов В. Многогранники из ленты//"Наука и Жизнь".-  №6 . 1989 г.

  12. http://famouspeoples.net/velikolepnaya-pyaterka-platonovy-tela/ (*)

  13. http://mnogogranniki.ru/

  14. http://w2.miwzua.com/PolyHedRon/index.htm

  15. 15.

  16. http://licey102.k26.ru/dist-kurs/p1aa1.htm

  17. https://vk.com/trubogrannik

Каталог: files
files -> Бастауыш білім беру деңгейінің ОҚу пәндері бойынша үлгілік тақырыптық жоспарлары
files -> Астрономия Мазмұны
files -> 1 фантастика жанрыныњ типологиясы
files -> Қазақстан тарихы 5 сынып. 2013-2014 оқу жылы
files -> Расул гамзатов
files -> Жамбыл атындағы республикалық жасөспірімдер кітапханасы Қазақстан ақын – жазушылары ХХ ғасырда
files -> «№ мектеп-лицей» мемлекеттік мекемесі Күнтізбелік- тақырыптық жоспар
files -> Ермұхан Бекмахановқа Сыздайды жаным, мұздайды қаным, жан аға!
files -> Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі, жергілікті атқарушы органдар көрсететін білім және ғылым саласындағы мемлекеттік қызмет стандарттарын бекіту туралы


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




©www.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет