Векторлық алгебра негізгі түсініктер



Pdf көрінісі
бет2/9
Дата21.12.2019
өлшемі1,18 Mb.
#53896
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
Лекции по курсу ОВТА каз


1.4. 

Векторлық көбейтінді 

 

Бұл    көбейтіндіде  екі  вектордың  арасындағы    бұрыштың 

синусын пайдаланады. 

                                                     









C

,                             (1.32) 

 

мұндағы,   



C

A

sin

 



,  бірақ  мұндағы   

C

-  вектор    және  ол 



A

    және 



  векторлар  жатқан  жазықтыққа  перпендикуляр. 



A

,  



 және 



С

 оң координаттар жүйесін құрасын, онда     



     

                          











 (коммут. емес).         (1.32а) 

 

                              



0

i

i

j

j

k

k

     

,                 (1.32б) 

 


 

15 


                      

,

,



,

,

,



.

i

j

k

j k

i

k

i

j

j i

k

k

j

i

i

k

j

 


 

 


  

  


  

   (1.32в) 

 

Векторлық көбейтіндінің маңызды геометриялық қасиеті бар (9-



сурет). 

 

A B sin

   



 

 

 –  параллелограмм  ауданы.  Сонымен, 









C

  векторы 

параллелограмм  жазықтығына  перпендикуляр,  ал  абсолют 

шамасы осы параллелограмның ауданына тең болады екен.       

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



9-сурет 

 

 



                                  

 

16 








C

  векторлық    көбейтіндінің  басқа  анықтамасы. 



C

-векторының компоненттері:  



 

                 

,

,

,



x

y

z

z

y

y

x

z

z

x

z

x

y

y

x

C

A B

A B

C

A B

A B

C

A B

A B



 



    (1.33) 

         

және    


                            





k

j

i

B

A

B

A

C

j

k

k

j

i

,

,



,

әртүрлі.    (1.34) 

 

і,j,k – индекстерін циклді өзгерту қажет. 



Векторлық  көбейтіндіні  анықтауыш    ретінде  жазған 

ыңғайлы: 

 

                                           



z

y

x

z

y

x

k

j

i

C









.                        (1.35) 

 

(1.32)  және    (1.33)  көбейтінділердің  эквиваленттілігін 



көрсетейік.  Ол  үшін 

C

A



  және 


C

B



  көбейтінділерін 

қарастырайық.  

 

                        



(

)

(



)

(

)



(

)

0,



x

y

z

z

y

y

z

x

x

z

z

x

y

y

x

C

A A B

A A B

A B

A A B

A B

A A B

A B

  








    (1.36) 

 

                                        



(

)

0



B C

B

A B

  


,                       (1.37) 



 

17 


, (1.36) және (1.37) теңдеулерінен  



C

 векторы 



A

 векторына 



да, 

B

  векторына  да  перпендикуляр. 



A

  және 



B

  векторлары 



тиісті жазықтыққа перпендикуляр. 

 

                              



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

(



) (

)

(



)

,

A



A

A B

A

A B

A B cos

A B sin



 

 


 




          (1.38) 

 



,                                     

C

A B sin

  



.                               (1.39) 

 

(1.38)  теңдеуінде 







A

  көбейтіндісін  (1.33)  теңдеуі 

бойынша  компоненттерге  жіктедік,  содан  кейін  (1.22)  скаляр  

көбейтіндісін  пайдаландық.  (1.36),  (1.37)  және  (1.39)  

теңдеулерінен  (1.32)  және  (1.33)    анықтамалары  эквивалентті 

екендігі шығады. 

Енді   









C

  вектор  екенін  көрсетейік  (яғни, 

вектордың  түрлендіру  заңына  бағынатынын).  Бұрылған 

координаттар жүйесінде:    

 

                 



i

j

k

k

j

jl

l

km

m

kl

l

jm

m

l

m

l

m

C

A B

A B

a A

a B

a A

a B

 



 









   

   


                 

,

(



)

jl

km

kl

jm

l

m

l m

a a

a a

A B



,                              (1.40)   

  

мұндағы,  і,  j,  k  –  циклдік  ретте  алуға  тиіспіз.      m=



l

    болғанда 

(1.40) теңдеуі нөлге тең. 

і=3 болсын, онда j=1, k=2  (циклдік рет): 

 


 

18 


                  

11 22


21 12

33

13



21

13 11


32

12

23



22 13

31

,



,

.

a a



a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a





  (1.41)   

 

(1.41) теңдеуін (1.40) теңдеуіне қоялық:  



 

                      

3

33

1



2

32

3



1

31

2



3

33

2



1

32

1



3

31

3



2

31

1



32

2

33



3

3

.



n

n

n

C

a A B

a A B

a A B

a A B

a A B

a A B

a C

a C

a C

a C

 










          (1.42)   

 

Осылай 



1

C

  және 



2

C

    үшін  табамыз.  Олар  (1.15)  шартын 



қанағаттандырады. Яғни, 

C

– векторлық шама болып табылады. 



 

1.5. 

Үш вектордың  аралас  және  

2-реттік векторлық көбейтінділері 

 

)



(

C

B

A





 

және 


)

(

C



B

A





-  мұндай  көбейтінділер 

комбинациясы  жиі  кездеседі.  Біріншісін  аралас  көбейтінді  деп 

атайды. 

C

B



 – көбейтіндісінен шығатын векторлар 



A

 векторына 



көбейтіледі,  демек  скаляр  шама  шығады. 

C

B

A





)

(

 



–  скаляр 

вектор,  ал  бұл  операция  белгісіз.  Сондықтан  оны  әзірге 

қарастырмаймыз. 

 


 

19 


               

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

,

x



y

z

z

y

y

z

x

x

z

z

x

y

y

x

x

z

y

y

z

y

x

z

z

x

z

y

x

x

y

A B C

A B C

B C

A B C

B C

A B C

B C

B A C

A C

B A C

A C

B A C

A C

B C

A

C A B

A C B

C B A

B A C

  










          



       

 

(1.43) 



 

және т.с.с.   

                                              

C

B

A

C

B

A









.                   (1.44) 

 

 



                                        

z

y

x

z

y

x

z

y

x

C

C

C

B

B

B

A

A

A

C

B

A





 .              (1.45) 

 

 

(1.43)  теңдігі  жоғарғы  ретті  симметрия  (1.45)  тендігінен 



шығады. 

 

Үш  вектордың  аралас  көбейтіндісінің  геометриялық 



түсініктемесі  бар.  Ол:  егер, 

B

A



,

  және 


C

векторлары 



параллелепипедтің  "қабырғалары"  болса  (11-сурет),  онда 

)

(



C

B

A





 

-  көбейтіндісінің  шамасы  осы  параллелепипедтің 

көлеміне тең болады (әрине, аралас көбейтінді теріс санға да тең 

болуы мүмкін). 

 


 

20 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

11-сурет 



 

 

 



)

(

C



B

A





рет 



векторлық 

көбейтіндіні 

қарастырайық. Бұл жолы жақшаны сақтау керек  

 

                



,

)

(



j

k

i

j

i

i









   


)

0

)



((





k

i

i



.

            (1.48) 



 

Демек,  бұл  көбейтіндіден 



j

  вектор  шығады.  Оның  бағыты 



A

 



және 

)

(



C

B



  векторлары жататын  жазықтыққа  перпендикуляр. 

)

(

C



B

A





векторлары 



В

және 



С

 



векторлары  тиісті 

жазықтыққа  жатады.  Себебі,  BC  жазықтығы 

)

(

C



B



векторына 

перпендикуляр. 

Сондықтан, 

)

(

C



B

A





 

векторының 



 

21 


компоненттері 

В

 



және 

С

 



векторларының 

сызықты 


комбинациясына байланысты: 

 

                               



)

(

)



(

)

(



B

A

C

C

A

B

C

B

A











.

           (1.49) 



 

Аралас  және  2-реттік  векторлық  көбейтінділер  арқылы 

одан көп векторлар көбейтінділерін қысқартуға болады. 

Мысалы:  Аралас  көбейтінді  кері  кристалл  торларын 

есептеуде  пайдаланады. 



b

a



,

және 


c

(міндетті  түрде  өзара 



перпендикуляр  емес)  –  кристалл  торларын  анықтайтын 

векторлар болсын. Онда кез келген 2 вектордың арақашықтығы  

 

c

n

b

n

a

n

r

c

b

a





 



 

теңдеуімен беріледі. Мұндағы, 



b

a

n

,

және 


c

n

- бүтін сандар. 

 

                    



;

c

b

a

c

b

a







 



;

c

b

a

a

c

b









 

c

b

a

b

a

c









       (1.50) 

 

векторларын  жазуға  болады.  (1.50) 





a



  векторы  (

b

және 


c



жазықтығына  перпендикуляр,  ал  абсолют  шамасы 

1



a

-  ге 


пропорционал. 

Шынында, 

1









c

c

b

b

a

a





  

0











b

c

a

c

c

b

a

b

c

a

b

a









.  Соңғы  теңдеулер  кері 

торларды  анықтайды.  Кері  тор  толқындардың  кристалдағы 

әртүрлі жазықтықтарда шашырауын есептеуге қажет. 



 

Векторлық талдау (векторларды дифференциалдау) 

 

1.6. Градиент 



 

 


 

22 


)

,

,



(

z

y

x

 



–  скаляр  функция  болсын,  яғни  функция  тек 

кеңістік 

нүктелерінің 

(x,y,z) 


мәніне 

тәуелді. 

Скаляр 

болғандықтан  кез  келген  координаттар  жүйесінде  белгілі  бір 



нүкте үшін нақты мәні өзгермеуі тиіс, яғни: 

 

                             



1

2

3



1

2

3



( ,

,

)



( ,

,

).



x x x

x x x



    

                (1.51) 

 

i

x

 бойынша дифференциалдайық: 



 

            

1

2

3



1

2

3



'

'

( ,



,

)

( ,



,

)

.



i

i

j

j

ij

ij

j

j

j

i

i

j

x x x

x x x

x

x

x

x

a

a

x

x

x

x



   



















        (1.52) 

 

(1.52)  теңдеуін  салыстырсақ  (1.17)  векторды  түрлендіру 



заңымен,  онда 

j

x



  компоненттері  болатын  бір  вектор  аламыз. 

Бұл  векторды 

 



градиенті  деп  атайды.  Ыңғайлы  болу  үшін 

символдық түрде жазайық: 

 

                        



z

k

y

j

x

i













                  (1.53)  

 

немесе 


         

                                         

.

i

j

k

x

y

z



 




                       (1.54) 



Мұндағы 



(набла)  –  векторлық  дифференциалдық 

оператор.  Бұл  оператордың  векторлық  қасиеттері  бар  және 

дербес дифференциалдау заңдарына бағынады. 

Мысалы:  



 

23 


                            

)

(



)

(

2



2

2

z



y

x

f

r

f



 

 



функциясының градиентін есептейік. 

 

                         



( )

,

f



f

f

f r

i

j

k

x

y

z







   



 

                        

( )

( )


f r

f r

r

df

x

x

r

x

dr r







 . 


 

Басқа компоненттері де осыған ұқсас табылады. Сонда,  

 

         



0

1

( )



(

)

df



r df

df

f r

ix

jy

kz

r

r dr

r dr

dr





 



 

0

r



r

r

 



– радиус-вектор бағытымен бағыттас бірлік вектор. 



 

ұзындық өсімшесін есептеуге қолданылады: 



 

                                          



dz

k

dy

j

dx

i

r

d





                      (1.55) 



 

                          

(

)dr



dx

dy

dz

d

x

y

z











  ,    (1.56) 



 

яғни 


- скаляр функциясының өзгерісі 



r

d

-дің өзгеруіне (орын 



ауыстыруына) сәйкес келеді. 

C

z

y

x

)



,

,

(



  бетінде  P  және  Q  нүктелерін  қарас-

тырайық.  Екі    нүкте  арақашықтығы      dr    болсын.    Онда  P 

нүктесінен Q нүктесіне көшкенде 



C

z

y

x

)



,

,

(



 

функциясының 



бетіндегі өзгерісі: 

 

                                               



0

)

(





r

d

d



                       (1.57) 



 

24 


 

нөлге тең. Осыдан 

(

)

dr





.    

r

d

-дің бағыты P нүктесінен Q 



нүктесіне  бағытталғандықтан, 

r

d

 



әрқашан  сол  бетте 

орналасады.  Демек 





   


сo n s t



бетіне  кез  келген  нүктеде 

перпендикуляр.               

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



12-сурет 

 

Енді   



r

d

 



1

c



 

 бетінен    

2

c



  бетіне    бағытталсын 

(12-сурет). Онда:            

 

                                    



2

1

(



)

.

d



c

c

c

dr



     

                 (1.58)  

Берілген 



d

үшін 


r

d

-дің  абсолют  шамасы  минималды,  егер 



r

d

 







  (cos


=1),  керісінше,  берілген 



r

d

  үшін 



  скаляр 

функциясының  өзгерісі  максималды.  Егер, 

r

d

 







  болса, 



 

25 


онда 



 

векторы 



  скаляр  функциясының  ең  жылдам  өзгеру 

бағытын көрсететін вектор. 

Скаляр  шаманың  градиенті  физикада  күш  өрісі  мен 

потенциалды  өріс  арасындағы  байланысты  табуда  үлкен  рөл 

атқарады: 

 

                                             Күш= - 



(потенциал).                 (1.59) 



 

Бұл гравитация және электр өрістері үшін орынды. 

 

 

 



 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©www.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет