Векторлық алгебра негізгі түсініктер


Декарт (тікбұрышты) координаталары



Pdf көрінісі
бет6/9
Дата21.12.2019
өлшемі1,18 Mb.
#53896
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
Лекции по курсу ОВТА каз


2.3. Декарт (тікбұрышты) координаталары 

 

 

Декарт координаталары:  



 

                      

1

,

1



,

1

3



2

1







z



y

x

h

h

h

h

h

h

 



Декарт  координаталары  –  Ламе  коэффициенттері  тұрақты 

болатын жалғыз жүйе. 

Бұл жағдай 3-тарауда тензорларды қарастырғанда қажет 

болады. 


 

(2.13),  (2.17).  (2.18)  және  (2.22)  теңдеулерінен  1-

тараудағы теңдеулерді аламыз: 

 

                                  



z

k

y

j

x

i













,            (2.24) 

 

                                   



z

V

y

V

x

V

V

z

y

x









,             (2.25) 



 

 

56 


                                

2

2



2

2

2



2

z

y

x













,          (2.26) 

 

                                         



x

y

z

i

j

k

V

x

y

z

V

V

V







  








.                  (2.27) 

 

2.4. Сфералық координаталар 

 

 



                       

 





,

,



,

,

3



2

1

r



q

q

q

 



1.  Центрі ортақ координаталар басында болатын концентрлі  

сфералар: 

 

.

2



2

2

const



z

y

x

r



 



 

2.  Шыңы координаталар басында болатын, скаляр z осі бола- 

тын концентрлі тік конустар:                                   

                            

.

cos


2

2

2



const

z

y

x

z

ark





 

  

3.  z осі өтетін жарты жазықтықтар: 



                                     

const

x

y

arctg



,  


 

 поляр  бұрышы мен 



 азимут  бұрыштарының кез келген бола 

алатындығынан  z  осіне  “байлап    қоямыз”,  яғни  z  осінен 

бұрыштар есептеледі.                                    

Декарт координаталар жүйесімен байланысы:  


 

57 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

                      

 

22-сурет 



               

sin cos ,

sin sin ,

cos


x

r

y

r

z

r







.  (2.28) 

0

, 0



2 , 0

.

r



 



   

 


 (2.6) теңдеуінен:        

2

2



2

2

2



1

11

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

22

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



3

33

sin



cos

sin


sin

cos


1

cos


cos

cos


sin

sin


sin

sin


sin

cos


sin

x

y

z

h

h

r

r

r

x

y

z

h

h

r

r

r

r

h

h

r

r

r





























































1

2

3



1,

,

sin .



r

h

h

h

h

r h

h

r







(2.29) 


 

58 


 

0

0



0

,

,





r

 – бірлік векторлары 

 және 



 бұрыштарының 

өзгеруіне  байланысты  бағыттарын  өзгертіп  отырады  (22-

сурет).  Осы  бірлік  векторлар  декарттық  КЖ-ның  бірлік 

векторлары

k

j

i



,

,



арқылы жазуға болады: 

















cos

sin


sin

sin


cos

cos


cos

cos


sin

sin


cos

sin


0

0

0



j

i

k

k

i

k

j

i

r







 



0

3

0



2

0

1



,

,











a

a

r

a

-ден, 2.2 бөлімдегі:  

         



0

0

0



1

1

2.13



sin

r

r

r

r



 










  





          (2.30)   



 

59 


 



2



2

sin


1

2.17


,

sin


sin

r

r V

r

V

V

r

r

V

r











   











             (2.31)                       



2



2

2

2



sin

1

2.18



sin

,

sin



1

sin


r

r

r

a

r











 














   

 











 







          (2.32)         



0



0

0

2



sin

1

2.22



.

sin


sin

r

r

r

r

V

r

r

V

rV

r

V



 












 

 








          (2.33) 

 

Векторлық  лапласиан 



V



2

сфералық  координаттарда 



қандай түрде болатынын көрейік. Ол үшін (1.30) векторлық 

теңдеудің көмегімен табамыз: 

 





V

V

V















 



 

60 


2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

cos



sin

1

1



sin

r

r

r

r r

r

r

V

V

r

r

 



 














 










 

          

     

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2 cos


2

sin


sin

2

2



2 cos

2

,



sin

sin


r

r

V

V

r

r

r

V

V

V

V

V

r

r

r

r







 









 

  













 







   (2.34) 

 

 



 

2

2



2

2

2



2

1

2



2 cos

,

sin



sin

r

V

V

V

V

V

r

r

r





 





 





   (2.35)  

 

 



 

2

2



2

2

2



2

2

1



2

sin


sin

2 cos


.

sin


r

V

V

V

V

r

r

V

r









 








                (2.36) 

 

 



2.5.  Айнымалыларды ажырату 

 

 

Гельмгольц (2.1) теңдеуі декарт КЖ-де жазайық: 



 

                                   

2

2

2



2

2

2



2

0,

k



x

y

z











          (2.42) 

 

61 


 

const

k

2



  болатын  жағдайды  қарастырайық.  Ең  оңай  жолы 

дербес  туындылардың  дифференциалдық  теңдеуін  қарапайым 

дифференциалды  теңдеулер  жүйесіне  көшіру  керек  (2.42) 

болады. Ол үшін,  

 

                               



     



, ,

,

x y z



X x Y y Z z



        (2.43) 



 

деп  қабылдап,  (2.42)  теңдеуін  қоялық.  Бірақ  әрқашан  да  бұлай 

деп  жазуға  болмайды.  Егер  осы  жолмен  (2.42)  теңдеуін  шеше 

алсақ,  онда  осы  жолдың  дұрыстығына  көз  жеткіземіз. 

Шешілмесе,  интегралдық  теңдеулерді  Грин  формуласының 

көмегімен не жуықтап шығару керек. 

 

Әзірге  (2.43)  теңдеуі  орындалады  деп,  (2.42)  теңдеуін 



қарастырамыз: 

 

           



2

2

2



2

2

2



2

0,

d X



d Y

d Z

YZ

XZ

XY

k XYZ

dx

dy

dz



  (2.44) 



 

XYZ



 формуласына бөліп табатынымыз: 

 

                                



2

2

2



2

2

2



2

1

1



1

,

d X



d Y

d Z

k

X dx

Y dy

Z dz

  


           (2.45) 

 

Сонымен,  айнымалылар  бөлінеді:  теңдеудің  сол  жағы  тек  k-ке 



ғана байланысты, ал оң жағы – y және z айнымалыларына, x,y,z 

– тәуелсіз айнымалылар болғандықтан, x-тің “тәртібін” y және z 

айнымалыларымен анықтай алмаймыз. Сондықтан теңдеудің екі 

жағы  да  бір  тұрақтыға  теңестіріледі.  Оны  бөлу  тұрақтысы  деп 

атайды. 

                                                    

2

2

2



1

,

d X



l

x dx

 


                         (2.46)  

 

62 


                                     

2

2



2

2

2



2

1

1



,

d Y

d Z

k

l

Y dy

Z dz

 


 


              (2.47)                           

                                        

2

2

2



2

2

2



1

1

.



d Y

d Z

k

l

Y dy

Z dz

   


             (2.48) 

 

Тағы да (2.48) теңдеудің екі жағында тұрақтыға теңестіреміз: 



 

                                                     

2

2

2



1

,

d Y



m

Y dy

 


                       (2.49) 

                                    

2

2

2



2

2

2



1

,

d Z



k

l

m

n

Z dz

   


 

            (2.50) 

 

2

n



  тұрақтысы  арқылы  (2.46),  (2.49)  және  (2.50)  симметриялы 

үш  қарапайым  дифференциалдық  теңдеу  аламыз.  Сонымен, 

(2.43) жорамалымыз орындалды. 

Сонымен, шешімін жазамыз: 

 

                            



     



, ,

,

lmn



l

m

n

x y z

X

x Y

y Z

z



       (2.50а) 



 

мұндағы 


2

2

2



2

n

m

l

k



теңдеуін 

қанағаттандыратын 

сандар  (2.46)  формуласы  (2.1)  теңдеуінің  шешімі  бола  алады, 

егер 

 


l

X

x

-(2.46)  теңдеуінің  шешімі, 

 

y

Y

m

-(2.49), 

 

z

Z

n

-

(2.50)  теңдеуінің  шешімі  болса,  онда  (2.1)  теңдеуінің  жалпы 



шешімін: 

 

63 


                                                   

,

lmn



lmn

lmn

a



                    (2.50б) 



 

lmn

  формулаларының  сызықты  комбинациясы  түрінде  жазуға 



болады. 

lmn

a

 

коэффициенттерін  шекаралық  шарттарды 



қанағаттандыратындай етіп қабылдайды. 



2

2

k





 

шамалары  сызықты  дифференциалды 

болғандықтан  жалпы  шешімін  (2.50б)  түрінде  жазуға  болады. 

Сызықты шамалар 

 деп аталады, егер 



 

 


1



2

1

2



,

a

a

 





  

 



 

 

теңдеуін қанағаттандырса, мұндағы   a - тұрақты. 



 

Егер  


 

                                  

     

2

2



,

k

f x

g y

h z

k





            (2.50в) 

 

болса, айнымалыларды бөлу әдісі орындалады



мұндағы 

2

k

-басқа  (жаңа)  тұрақты  (2.46)  теңдеуінің  түрі   



 

2

2



2

1

,



d X

f x

l

X dx

 



  (2.50г)  болады.  Онда  X,Y,Z  шешімдері 

басқа  болады,  алайда  дифференциалдық  теңдеуді  түрлендіру 

және  шешімдерінің  сызықты  комбинациясын  құру  жолдары 

бірдей болады. 

 

Мақсатымыз - әртүрлі КЖ-де айнымалыларды ажыратуға 



болатынын көрсету. 

 

Енді  (2.1)  теңдеуінің  сфералық  КЖ-дегі  шешімін 



қарастырайық: 

 


 

64 


     

2

2



2

2

2



sin

sin


1

,

sin



1

sin


r

r

r

k

r







 




















  







 (2.51) 


 

 

                                    



     



, ,

,

r



R r

 





            (2.52) 



 

деп қарастырайық, (2.52) 

 (2.51): 



 

 

2



2

2

2



2

sin


sin

1

sin



sin

.

R



r

R

r

r

r

R

k R





 













 











 



  







 




 (2.53) 


(2.53) теңдеуін 

1

R












Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©www.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет