Векторлық алгебра негізгі түсініктер

3.5.   Аффинорлар   (Диада) 

 

Қарапайым  векторлық  талдау  ережелерін  2

ші

  рангты 

тензорларға да орындалуы үшін аффинорлар енгізіледі. 

i



  және 

j



  екі  вектордан   

j

i





    комбинациясын  қарастыралық.  Осы 

комбинация  аффинор  деп  аталады.  Сол  жағынан  көбейту 

(скалярлық немесе векторлық) дегеніміз: 

 

            





.

x

y

z

x

ij

i

j

k

i

j

j





 

     

  





      (3.60) 

 

Оң жағынан көбейту дегеніміз: 

 

                 





x

y

z

y

ij

i

j i

j

k

i





  

    

 





      (3.61) 

 



көбейту  амалы  коммутациялы  емес.  Әрқашан   

i



    және 

j



 

векторлары     

i



j



  аффинорында  өзара  әсерлеспейтінін  білу 

қажет.  Егер  бұл  векторлардың  коэффициенттері  көбейтіледі, 

алайда  бірлік  векторлардың  өздері  не  скалярлы,  не  векторлы 

көбейтінді құрамайды, 



i

j

j

i











. 

Енді   

А



  және   

В



 векторлар комбинациясын құрайық. 

 

86 

 

          







.

x

y

z

x

y

z

x

x

x

y

x

z

y

x

y

y

y

z

z

x

z

y

z

z

i

j

k

i

j

k

ii

ij

ik

ji

jj

jk

ki

kj

kk

        

     

               

           

  (3.62) 

 

 

















аффинорлар  қосындысы,  демек  аффинор  шама. 

Екі  вектордың  көбейтіндісі  2

ші

  рангты  тензор  болады  деп 

айттық. 

Аффинор  –  2

ші

  рангалы  тензор,  табиғаты  вектор  екенін 

дәлелдейді. 

Жоғарыда  вектор  мен  аффинорлар  көбейтінділері 

коммутативті  емес  дедік.  Алайда  коммутативті    болатын 

жағдайды қарастырайық. 

 

                                   

a

a

   

,                            (3.63) 

 

мұндағы 











аффинор,  



a



кез келген вектор. 

Егер 

i

a







 болса, онда 

,

x

x

















  яғни 

 

                           

x

x

x

y

x

z

x

x

y

x

z

x

i

j

k

i

j

k

        

        

                (3.64) 

 

Компоненттерді  теңестірейік: 

 

              

,

,

x

x

x

x

x

y

y

x

x

z

z

x

    

    

    

     (3.65) 

 

87 



,

c

  

мұндағы 

c

=Const.  Яғни,  кез  келген  векторға 

көбейту коммутативті болу үшін, аффинор симметриялы болуы 

керек. 

Аффинордың қажетті қасиеттерінің бірі – координаттарды 

таңдай  отырып,  оларды  әрқашан    нормаль  немесе  диаогональ 

түрге келтіруге болады: 

 

                               

xx

yy

zz

ii

jj

kk

      

.              (3.66) 

 

Симметриялы аффинордың  геометриялық  түсініктемесін 

берейік. Симметриялы 





 аффиноры  диагоналды түрде берілсін.  

Онда 

r



 радиус-вектордың көмегімен: 

 

                                              

1

r

r

 

                           (3.67) 

 

теңдеуін  аламыз.  Ол 

r



-дің  абсолюттік  шамасына    оның 

бағытына байланысты шек қояды.  

 

     









2

2

2

1

1

xx

yy

zz

xx

yy

zz

ix

jy

kz

ii

jj

kk

ix

jy

kz

x

y

z







    













     



, (3.68) 

 

                      

1

1

1

2

2

2

,

,

xx

yy

zz

a

b

c







 

 

 

        (3.69) 

 

жарты осьтері болатын эллипсоид. 

Аффинорды  диагонал  түрге  келтіру  аффинорлы 

эллипсоидтың осьтерін координат осьтерімен сәйкес келтіру. 

U



 

қарсы 

симметриялы 

аффинор 

берілсін, 

яғни 

).

,

,

,

,

(

,

0

z

y

x

j

i

j

i

U

U

U

ji

ij

ii











 

 

Онда  кез 

келген 

a



 векторы үшін: 

 

88 

a

U

U

a

















 

 

– қарсыкоммутация ережесіне бағынады.