r(u, v) векторының бірінші жіне екінші дифференциалын табайық: dr

мұнда r_uu = r_vv. Беттің бірлік нормаль n = [r_u, r_v] / |[r_u, r_v]| векторы r_u , r_v векторларына ортогональ болғандықтан n · r_u = 0, n · r_v = 0 болады, демек,

Сонда

болады. Ал (4) өрнек мына түрде жазылады:

Бұл теңдіктің сол бөлігіндегі өрнек екі өлшемді r_u, r_v векторларына бағытталған Т_М кеңістігінде анықталған беттің екінші квадраттық формасы деп аталады. Бұл өрнектің мәні беттің М нүктесіндегі екінші дифференциал радиус-вектордың бірлік нормаль n векторындағы ортогональ проекциясын береді.

x _y = 0, x _xx = 0, x _xy 0, y_x =0, y_y = 1, y_xx =0, y_xy =0, y_yy = 0 екендігін ескеріп, аламыз:

= - = .

Сол сияқты z _xz , z _yy – ті табуға болады:

Z _xy = , z _yy = .

Ф: r = r(u, v) C^k(G), k1, регулярлық беті берілсін. Осы бетте орналасқан сызығы u = u (s), v = v (s), s [0, s] ішкі теңдеулермен берілсін, мұнда s - сызығының табиғи параметрі. Френенің бірінші формуласы бойынша .

Сонда

() = ·(n, ) = |n| · ||·Cos = ·Cos. (6)

= (r_uu, n)() + 2(r_uv, n) + (r_vv, n)()² =

мұнда (r_u, n) = (r_v, n) = 0 екені ескерілген. ds² = екенің ескеріп, (3.23), (3.24) теңдіктерден аламыз:

А н ы қ т а м а 3.7. Егер Ф сызығы u = u (t), v = v (t) теңдеулермен берілсе, онда du : dv қатынасы сызығының М₀(u, v) нүктесіндегі бағыты деп аталады.

(2.25) теңдікті мына түрде жазайық: ·Cos = .

Соңғы теңдіктің сол бөлігі тек берілген нүкте мен сол нүктедегі бағытқа ғана тәуелді, сондықтан ·Cos = k_n = const (3.26)

теңдігі берілген нүктеден берілген бағытта өтетін барлық регуляр сызықтар үшін орындалады. Бұл теңдікті Менье формуласы деп атайды.

А н ы қ т а м а 3.8. (3.32) теңдіктегі k_n саны Ф бетінің М₀ нүктесінде берілген du : dv бағытындағы нормаль иілімі деп аталады.

Нормаль иілім k_n иілім векторының бірлік нормаль векторына ортогональ проекциясы болады, яғни k_n = Пр_n ().

А н ы қ т а м а 3.9. Егер Ф бетінің М нүктесі арқылы өтетін, du : dv бағытында анықталған жазықтықпен қиса, онда алынған қиманы беттің нормаль қимасы деп атаймыз.

Беттің нормаль қимасы = 0 болады, сондықтан (2.26) теңдіктен k=k_n екенін аламыз. Сонымен, беттің берілген бағыттағы нормаль иілімі оның сол нүктедегі, сол бағытта жүргізілген нормаль қимасының иіліміне тең болады екен.

Т(Х) - берілген Ф регулярлық бетінің Х нүктесіндегі жанама жазықтығы, ал g - Х нүктесі арқылы өтетін Т(Х) жазықтығының түзуі болсын. ХФ нүктесінен Т(Х) жазықтығында барлық барлық бағытта ұзындығы R = - ге тең кесінділер жүргізейік, мұнда R = - нормаль қималық иілім радиусы деп аталады.

Сонда бұл кесінділердің екінші ұштарының жиыны (сызық) беттің иілім индикатрисасы (Дюпен индикатрисасы) деп аталады.

Бұл жиын қандай сызық болады? - деген сұраққа жауап беру үшін Т(Х) жазықтығында аффиндік {Х, r_u, r_v} координаталар жүйесін еңгіземіз.

бұдан || = 1. (3.27)

Бұл Дюпен индикатрисасының теңдеуі болып табылады, ол екінші ретті сызық екенін көреміз:

а) егер b₁₁b₂₂ – b₁₂² >0 болса, онда (2.27) теңдеу = 1 түрге келеді, бұл эллипстің теңдеуі болатыны екінші ретті сызықтар теориясынан белгілі. Бұл жағдайда R > 0 болғандықтан = 0 және , n векторлары бірдей бағытталады. Сондықтан мұндай нүктенің мейлінше аз аймағында бет өзінің жанама жазықтығының бір жағында орналасады. Мұнда Х нүктесі эллипстік нүкте деп аталады (16,а - сурет).

Х нүктесі омбилиялық (жұмыр) нүкте деп аталады, егер осы нүктеде Дюпен индикатрисасы шеңбер болса (бұл эллипстік нүктенің дербес жағдайы).

ә) егер b₁₁b₂₂ – b₁₂² < 0 болса, онда (3.33) теңдеудің оң бөлігін қандай таңбамен алуымызға байланысты екі түрлі (түйіндес) гиперболалар теңлеуін алынады. Мұнда Х – гиперболалық нүкте деп аталады (16,ә - сурет).

б) егер b₁₁b₂₂ – b₁₂² = 0, b₁₁ ² + b₂₂² + b₁₂² 0 болса , онда Дюпен индикатрисасы параллель қос түзуге ыдырайды. Беттің мұндай нүктелері параболалық нүкте деп аталады (16,б - сурет).

в) b₁₁b₂₂ – b₁₂² = 0, b₁₁ ² + b₂₂² + b₁₂² = 0 шартын қанағаттандыратын беттің нүктелерін жазылу нүктелер деп атаймыз. Жазылу нүктесінің мысалы ретінде 16,в - суреттегі «маймыл ері» деп аталатын беттің М₀ нүктесін мысалға келтіруге болады

Ф: r = r(u, v) C^k(G), k1, регулярлық беті берілсін. М₀(u₀, v₀)Ф болсын. Осы нүктедегі беттің бас иілімдерін k₁, k₂ арқылы белгілейік.

А н ы қ т а м а 3.10. H = , K = шамалары беттің М₀ нүктесіндегі сәйкес орташа және гаусстық (толық) иілімдері деп аталады.

H, K шамаларды есептеуге арналған өрнектерді қорытып шығарайық.

Ол үшін k_n = теңдігін қарастырамыз, мұнда

du².+dv² 0 дарты орындалуы тиіс. (2.41) жүйені мына түрде жазайық:

немесе

(3.28) - du,dv екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі, бұл жүйенің нөлдік емес шешімдері бар болу үшін негізгі матрицаның анықтауышы

нөоге тең болуы қажет екені алгебра курсынан белгілі, яғни:

немесе

(***) өрнектер бойынша беттің берілген нүктедегі гаусстық және орташа иілімдердің шамасын есептеуге болады.

Т е о р е м а (Родриг теоремасы). Егер регулярлық Ф беті М₀ нүктесінде координаттық сызықтар бас бағыттармен бағытталса, онда