Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі 2012 – 2013 оқу жылы. Құрметті оқырман! Сіздерге олимпиада есеперін шешудін басқа әдемі (оригинальное решение) әрі қысқа жолдары белгілі болса, ой бөлісулеріңізді сұраймын. Пікірлеріңізді сайт бетінде қалдыруларыңызға немесе amangeldi.sadykov@mail.ru эл. адресіне жолдауларыңызға болады 8 сынып І тур есеп.1 + 2 + 22 + 23 + ∙∙∙ + 277 саны 7 – ге қалдықсыз бөліне ме?
Шешуі: Мына өте әдемі заңдылықты (формуланы) жадыңда сақтаған абзал.
a0 + а1 + а2 + а3 +∙∙∙ + аn = Осы формула негізінде қосындыны оңай табуға болады 1 + 2 + 22 + 23 + ∙∙∙ + 277 = = 278 – 1 , 278 – 1 = (239 -1) (239 +1) =
= (23(236 – 1) + 7) (239 +1) 236 – 1= (218 -1) (218 +1), 218 -1 = (29 -1) (29 +1) =
=511(29 +1), 511 саны 7 –ге қалдықсыз бөлінгендіктен 23(236 – 1) + 7 саны, яғни алғашқы сан 7 –ге қалдықсыз бөлінеді. Жауабы: 7 – ге бөлінеді
2 есеп. Нақты а,b, ссандары (а + b +с )2 = 3(ab + bc + ca) теңдігін қанағаттандыратындығы белгілі. Онда a=b=c екенін дәлелдеңдер
Шешуі: (а + b +с )2 = а2 + b2 +с2+ 2(ab + bc + ca) ⇒ а2 + b2 +с2+ 2(ab + bc + +ca) = 3(ab + bc + ca), яғни а2 + b2 +с2=ab + bc + ca, демек a=b=c
