Сборник задач по высшей математике для студентов 1 курса

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

бет	2/4
Дата	16.01.2023
өлшемі	1,34 Mb.
	#165612
түрі	Сборник задач

1 2 3 4

Байланысты:
2647 sbornik vishaya
лекция2

Задача 6
Дана функция точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора .

6.1 z = 3x²y² + 5xy²; A(1; 1), .

6.2 z = 3x⁴ + 2x²y³; A(-1; 2), .

6.3 z =ℓn(3x² + 4y²); A(1; 3), .

6.4 z = arсsin ; A(1; 2), .

6.5 z = arсtg ( xy²); A(2; 3), .

6.6 z = 5x² + 6xy; A(2; 1), .

6.7 z =ℓn(5x² + 4y²); A(1; 1), .

6.8 z =ℓn(5x² + 3y²); A(1; 1), .

6.9 z = 2x² + 3xy+y²; A(2; 1), .

6.10 z = x² + xy+y²; A(1; 1), .

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

Интегралы

Задача 7
Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б)) проверить результаты дифференцированием.
7.1 а) ; б) ; в) ; г) .
7.2 а) б) в) ; г) .
7.3 а) ; б) ; в) ; г) .
7.4 а) ; б) ; в) ; г) .
7.5 а) ; б) ; в) ; г) .
7.6 а) ; б) ; в) ; г) .
7.7 а) ; б) ; в) ; г) .
7.8 а) ; б) ; в) ; г) .
7.9 а) ; б) ; в) ; г) .
7.10 а) ; б) ; в) ; г) .

7.11 а) б) в) г)

7.12. а) б) в) г)

7.13. а) б) в) г)

7.14. а) б) в) г)

7.15. а) б) в) г)

7.16. а) б) в) г)

7.17. а) б) в) г)

7.18. а) б) в) г)

7.19. а) б) в) г)

7.20. а) б) в) г)
Задача 8
Вычислить площадь области, ограниченной линиями.

Дифференциальные уравнения

Задача 9
Найти общие интегралы дифференциальных уравнений

9.1. а) б)

9.2. а) б)
9.3. а) б)

9.4. а) б)

9.5. а) б)

9.6. а) б)

9.7. а) б)

9.8. а) б)

9.9. а) б)

9.10. а) б)

9.11. а) б)

9.12. а) б)

9.13. а) б)
9.14. а) б)

9.15. а) б)

9.16. а) б)

9.17. а) б)
9.18. а) б)
9.19. а) б)
9.20. а) б)

Задача 10

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения при данных начальных условиях .
10.1 ; .
10.2. ; .
10.3. ; .
10.4. ; .
10.5. ; .
10.6. ; .
10.7. ; .
10.8. ; .
10.9. ; .

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

5 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ, ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ И ПОРЯДОК ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ НА РЕЦЕНЗИЮ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам проводятся лекционные и практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить материал по учебнику. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. При изучении материала необходимо вести конспект.
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться правил:
1. Контрольные работы оформляются в отдельной тетради.
2. Титульный лист оформляется по образцу.
3. Решение записывается четким, разборчивым почерком, синими чернилами.
4. Перед решением должно быть обязательно записано условие задачи.
5. Решение задач необходимо излагать подробно, чертежи выполнять
аккуратно, с помощью линейки и карандаша.
Целью выполнения контрольных работ является - оказание помощи студенту в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им материала, указывают на имеющиеся у него пробелы.
Выполненная контрольная работа должна быть предоставлена студентом на кафедру высшей математики (331 аудитория) не позднее, чем за неделю до назначенного экзамена по этому предмету. Контрольная работа сдается сначала лаборанту для регистрации. Результат проверки работы студент узнает у лаборанта. После выполнения контрольной работы преподаватель проводит собеседование. Завершающим этапом изучения является сдача экзамена.
Без зачтенной контрольной работы студент не допускается к экзамену.
6 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача 1 Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
Площадь грани А₁А₂А₃;
Уравнение плоскости А₁А₂А₃;
Объем пирамиды;
Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;
Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃;
Уравнение плоскости, параллельной А₁А₂А₄, проходящей через вершину А₃;
Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;
Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0).

Решение

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами и .

{1-2; 1-0; -4+3}={-1; 1; -1}
{4-2; -2-0; 0+3}={2; -2; 3}

Найдем длины векторов

Косинус угла между векторами и равен

φ = arсcos (-0,9802)=π-arccos 0,9802= 168°36^/

Для нахождения площади грани А₁А₂А₃ используем векторное произведение векторов .

{0-2; -1-0; 3-(-3)}={-2; -1; 6}
S∆=

{-1; 1; -1} , {-2; -1; 6}

{5; 8; 3}

S∆= (кв.ед.)

Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃, зная, что А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3).

5х+8y+3z-1=0 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Для нахождения объема пирамиды используем смешанное произведение векторов , , , приняв во внимание, что треугольная пирамида составляет объема параллелепипеда.

= {-1; 1; -1}, = {-2; -1; 6}, = {2; -2; 3}

= (куб.ед.)

5) V_пир.= S_оснH

А₄

А₂
H= (лин.ед) – длина

О

А₁

высоты А₄О

А₃

_{Рисунок 1 - Пирамида}

Воспользуемся формулой Канонического уравнения прямой для нахождения уравнения высоты А₄О, учитывая, что в качестве направляющего вектора прямой А₄О служит нормаль к плоскости А₁А₂А₃ вектор {5; 8; 3}, и прямая А₄О проходит через точку А₄(4; -2; 0).
уравнение высоты.

Проекцией А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃ является А₁О. Из треугольника А₁А₄О найдем

А₁А₄= , А₄О=0,3

А₁О= (лин. ед.)

Сначала найдем уравнение плоскости А₁А₂А₄ , получим:

- уравнение плоскости А₁А₂А₄
Так как искомая плоскость параллельна А₁А₂А₄, то нормаль у них одинаковая: {1; 1; 0}.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку А₃(0; -1; 3) .

- уравнение искомой плоскости.

Воспользуемся найденными уравнениями плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

{5; 8; 3}, {1; 1; 0}

А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0)

-3

Рисунок 2 – Чертеж пирамиды в пространстве

Задача 2
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

методом Крамера;
методом Гаусса;
средствами матричного исчисления

Решение

Составим матрицу системы и найдем ее ранг

Вычислим определитель этой матрицы

Следовательно, и равен числу неизвестных системы, поэтому система совместна и имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители:

Находим решение системы

, ,

Ответ: (1; -2; 3)

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Чтобы иметь при первом неизвестном единицу в первом уравнении вычтем из второго уравнения первое, результат поставим вместо первого уравнения.

3

4

-

-

Для исключения коэффициентов при первом неизвестном умножим первое уравнение на 3 и вычтем из него второе уравнение, затем первое уравнение умножим на 4 и вычтем из него третье уравнение, в результате получим:

Уравняем коэффициенты при втором неизвестном, для этого второе уравнение умножим на 33, третье – на 17, затем вычтем из второго третье уравнение:

Завершили прямой ход метода Гаусса, привели систему к треугольному виду. Произведем обратный ход. Из последнего уравнения найдем .

, подставим во второе уравнение

,

Подставим и в первое уравнение

Ответ: (1; -2; 3)

Введем матрицы

, , .

Найдем алгебраические дополнения .

; ; ;
; ; ;
; ;
Найдем матрицу Х , учитывая, что .

Ответ: (1; -2; 3)

Задача 3
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

1) при а) х₀= 2 б) х₀= 1 б) х₀= 

2) 3) 4)
Решение

1) а)

б)

в)

по таблице эквивалентов sin²3x ~ (3x)², умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение

3

по таблице эквивалентов tg3x ~ 3x, затем используем второй замечательный предел

)

4)
Задача 4
Найти производные заданных функций (в случаях г и д найти производные второго порядка )
а)
б)
в)
г)
д)

Решение

а)
По таблице производных сложных функций

б)
По правилу дифференцирования частного

в)
По правилу дифференцирования сложной функции

г)
По правилу дифференцирования произведения

д)

По правилу дифференцирования функции, заданной параметрически

Задача 5
Дана функция Показать, что

Решение

Подставим в уравнение

Задача 6

Дана функция z = x² + y²– x + 3y точка М₀(1; –2), А(– 1; 3), В(4; –9).

Найти:

grand z в точке М₀;
производную по направлению вектора в точке М₀.
составить уравнение линии уровня z = c и построить ее график.

Решение

Единичный вектор ā⁰ вектора

по формуле

Линиями уровня данного поля являются концентрические окружности.

– центр окружности

R=2
R=1

Рисунок 3 – Линии уровня

Задача 7
Найти неопределенные интегралы

1) .

Решение

Сделаем замену ;

Проверка дифференцированием.

Ответ: =

2а)

Решение

=

Ответ:

2б)

Решение
=

Ответ: =

Решение

В знаменателе подынтегральной дроби выделим полный квадрат:

Сделаем замену . Тогда и

Ответ:

4а)

Решение

=
=

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

Решая систему найдём

Найдем каждый из интегралов

=

=

Ответ:

4б)

Решение

Полагаем . Тогда

=

Задача 8
1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью .

Решение
у

у = х²

0 1 3 х

Рисунок 4 – Площадь фигуры

Находим площадь искомой фигуры (кв.ед.).

Задача 9

Решить дифференциальное уравнение

Решение
Перепишем данное уравнение в виде .

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4