Анықталған және анықталмаған интеграл

1. 
   Анықталмаған интеграл
   
   1. 
      Функцияның алғашқы бейнесі және анықталмаған интеграл
      

Мысал f(x)=х² функциясының алғашқы бейнесін табу керек. Алғашқы бейненің анықтамасы бойынша F(x)= функциясы алғашқы бейне болады, себебі =х².

Бұл функцияның алғашқы бейнесі бір мәнді болмайды, себебі F(x)= +1, F(x)= -7 немесе жалпы F(x)= +C (мұндағы С-ерікті тұрақты) функциясы да С-ның кез келген мәнінде f(x)=х² функциясының алғашқы бейнесі болады, яғни ( )^/=x².

Қорыта айтқанда, егер берілген f(x) функциясының алғашқы бейнесі F(x) болса, онда бұдан басқа алғашқы бейненің түрі F(x)+С болады. Бұл келесі теоремадан шығды.

Теорема. Егер f(x)функциясының алғашқы бейнелері бар болса, онда олардың айырымы тұрақты шамаға тең.

2-анықтама. Егер F(x) функциясы берілген f(x) функциясының алғашқы бейнесі болса, онда F(x)+С өрнегі f(x) фунциясының анықталмаған интегралы деп аталады және ∫f(x)dxсимволымен белгіленеді, яғни анықтама бойынша ∫f(x)dx =F(x)+С, мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция, f(x)dx – интеграл астындағы өрнек, ∫- интеграл әдісі.

Берілген функцияның алғашқы бе+йнесін табу интегралдау амалы деп аталады.

Геометриялық тұрғыдан анықталмаған интеграл жазықтықта бір-бірінен айырымы тұрақты шама болатындай қисықтар жиынын көрсетеді. Бқл қисықтарды интегралдық қисықтар деп атайды.

Мысалы, f^/(x)=2x және f(2)=5болса, онда , f^/(x) функциясын табыңыз.

Шешуі: f^/(x)= =2x . Бұдан dy=2x*dx

∫dy=∫2x*dx , онда y=x²+C болады. y=f(x)=x²+C онда C=1 шығады. Ендеше f(x)=x²+1 болады.