Фио преподавателя: Альмуханова М. М
жүктеу/скачать 45,51 Kb.
|
1 2
Байланысты:Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли и ее следствия. . Случайные величины. Дискретные случайные величины. №140
- Бұл бет үшін навигация:
- Межпредметные связи
- Навыки использования ИКТ Презентация Предваритель ные знания
- Задание. №1.Монета подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз. №2.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли и ее следствия. Вероятностные модели реальных явлений и процессов. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Понятие непрерывной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий В1, В2,... Вn, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А) = Р(В1)Р(А|В1) + Р(В2)Р(А|В2) + ... + Р(Вn)Р(A|Вn). Эта формула называется формулой полной вероятности. Рассмотрим полную группу несовместных событий В1, B2 ..., Вn вероятности появления которых, соответственно, равны Р(В1), Р(В2),...P(Bn), Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2, ...., Вn , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В1)Р(А|В1) + Р(В2)Р(А|В2) + ... + Р(Вп)Р(А\Вn). Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез Р(В1), Р(В2), .... Р(Вn). По теореме умножения вероятностей: Р(АВ1) = Р(В1)Р(А|В1) = Р(А)Р(В1|А), откуда P(B1|A) = Аналогично, для остальных гипотез: P(Bi|A) = , i = 1, ..., n. Полученная формула называется формулой Байеса (Бейеса). Вероятности гипотез P(Bi|A) называются апостериорными (оцененные после испытания) вероятностями, тогда как Р(Вi) — априорными (оцененные до испытания) вероятностями. Задача 1. Из полного набора костей домино (28) костей выбирают 2 кости. Определить вероятность того, что их можно приставить друг к другу согласно правилам игры в домино. Решение. Пусть событие A1 - первая кость дупель, A2- первая кость – не дупель, A - событие, определяемое вопросом задачи. Тогда события A1и A2. Поэтому, по формуле полной вероятности P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A2)P(A2)=6/27 ∙1/4 +12/27 ∙3/4 =1/18+1/3=7/18. Пусть многократно реализуются повторные испытания при неизменных условиях их проведения. В ходе испытания фиксируется появление некоторого случайного события А, вероятность появления которого Р{А) не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается неизменной (Р(А) = const) при повторении опыта. Такие испытания называются независимыми, а схема проведения испытаний носит название схемы Бернулли. Событие, противоположное событию А, обозначается А и значение суммы вероятностей противоположных событий равно единице, т. е. р + q = 1, где р = Р(А), q = Р( ). Теорема Бернулли. Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна, то вероятность наступления события A k раз в данных испытаниях вычисляется по формуле где: — вероятность наступления события A k раз в п независимых испытаниях; — число сочетаний из п элементов по k элементов; — вероятность события А; — вероятность события . Следствия формулы Бернулли 1. Вероятность того, что в серии из п опытов событие А появится хотя бы один раз, вычисляется по формуле: Рn(т ≥ 1) = 1 - qn 2. Вероятность того, что в серии из п опытов событие А появится не менее к раз (к и больше), находится по формуле: 3. Вероятность того, что в серии из л опытов событие А появится не более к раз (к и меньше), находится по формуле: Рn(т < k) = . 4. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз. Наивероятнейшее число т* наступлений события Aвn испытаниях заключено между числами пр - q и пр + р (пр - q ≤ т* ≤ пр + р). Задача 2. Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера. Решение. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через С) состоит в том, что из шести покупателей двум, трём, четырём, пяти или шести необходима обувь 41-го размера. Применив теорему сложения вероятностей, а затем формулу Бернулли, получим ответ. Однако задача решается проще, если сначала искать вероятность не требуемого в условии задачи, а противоположного ему события . Оно состоит в том, что менее чем двум покупателям необходима обувь 41-го размера, то есть или ни одному покупателю (событие А), или только одному (событие В). Таким образом, . По формуле Бернулли при n = 6, p = 0,25, q = 0,75 и m = 0; 1 получим (при подсчёте следует иметь в виду, что ). Тогда вероятность события С найдётся как вероятность события, противоположного найденному: . Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, называются дискретными (прерывными) случайными величинами. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, называются непрерывными случайными величинами. Перечисление возможных значений случайной величины и их вероятностей называется распределением случайной величины. Если для случайной величины X известны все значения х: х1, х2,..., хn, которые она может принимать, и все вероятности р, р2, .... рn, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения дискретной случайной величины X, или просто распределение величины X. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. Таблица, где перечислены возможные (различные) значения х1, х2, ..., хn случайной величины X с соответствующими им вероятностями p1, р2, .... рn, называется рядом (законом) распределения дискретной случайной величины X.
В верхней строке таблицы в порядке возрастания перечислены всевозможные значения случайной величины X: х1, х2,..., хn, в нижней — их вероятности. При этом для любой дискретной случайной величины p1+ р2+...pn = 1. Символически записывают: Поскольку эта единица распределена в соответствии со значениями случайной величины, отсюда и термин "распределение". Вероятность случайного события: х1 равна р1, записывают символически: р1 = Р(х1). Ломаная линия, проходящая через точки (хi; рi), абсциссы которых являются значениями случайной величины: х1, х2... хn, ординаты — их вероятностями: р1, р2, p3,..., рn, называется многоугольником распределения, а соответствующая гистограмма — гистограммой распределения. Рассмотрим распределение дискретных случайных величин в виде формулы, т. е. аналитически. В общем виде формула выглядит так: Pi = f(xi). Задача 3. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными? Решение: Задача 4. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба). Решение: Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Задание. №1.Монета подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз. №2. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. №3. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2. Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграют 2 билета. Рефлексия: - что узнал, чему научился? - что осталось непонятным? - над чем необходимо работать и т.д. жүктеу/скачать 45,51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||
1 2