Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 5. Основные теоремы операционного исчисления
4.Таблица свойств изображений
В данном пункте приведена таблица свойств изображений, каждый раздел которой будет объяснён в следующем пункте. Пусть F(p): ®f(t) , G(p):®g(t)
№ Оригинал Изображение Комментарии 1.
const β α t g β t f α = , , ) ( + ) ( αF(p)+βG(p) Свойство линейности п. 5.1
2. 0 , ) ( > = ×
t f a a
( ) a a p F 1
Теорема подобия п. 5.2.
3. 0 , ) - ( > >
t t t f
) ( e
F p × - t
Теорема запаздывания п. 5.3.
4. 0 , ) ( e > × - l l t f t
Теорема смещения п. 5.4. 5.
0 > , ) + ( a a t f
÷ ÷ ø ö ç ç è æ × - ò -
pt ap dt t f p F 0 ) ( e ) ( e
Теорема упреждения п. 5.5. 6.
ò ò - = -
t d g t f d t g f 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (
t t t t t
Теорема об умножении изображений
№ Оригинал Изображение Комментарии п. 5.6. 7.
ò - - × t d g t f g t f 0 ) ( " ) ( ) 0 ( ) ( t t t
Интеграл Дюамеля
п. 5.7. 8.
f(t)g(t) ò ¥ + ¥ - - ×
a i a dq q p G q F i ) ( ) ( 2 1 p
Умножение оригиналов п. 5.8.
9. f(t)=f(t+T) , T - период ò - - × - T pt pt dt t f 0 e ) ( e 1 1
Изображение периодического оригинала п. 5.9. 10. )
) (
f n
÷ ø ö ç è æ - - - - n n p f p f n p F p ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( L
Дифференцирован ие оригинала п. 5.10. 11. )
) 1 ( t f t n n -
) ( ) ( p F n
Дифференцирован ие изображения п. 5.11. 12. ò
d f 0 ) ( t t
) ( 1
F p
Интегрирование оригинала п. 5.12. 13. )
1 t f t
ò ¥ p dp p F ) ( Интегрирование изображения п. 5.13
Пусть F(p): ®f(t) , G(p):®g(t) 5.1. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных a и b : ) ( + ) ( p G β p F α :
® ) ( + ) ( t g β t f α
(12) 5.2. Теорема подобия. Для любого постоянного a > 0:
) ( t α f
¬: ÷ ø ö ç è æ a a
F 1
(13) Умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число a . 5.3. Теорема запаздывания. ) ( : t t - ® - t f e p для t > τ > 0 (14)
t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на
- e .
pt t f - = e ) ( . Решение: Имеем по таблице пункта 2: 2
3 2
, здесь запаздывание t =1. Тогда ( ) 2 1 -
¬:
- × e 2 3 . 5.4. Теорема смещения.
Для a >0 имеет место соотношение :
) (t f e at × - ¬: F(p+a) (15)
Пример 59. Найти изображение затухающих колебаний: t t v a sin
e - и t t v a cos
e - , a >0.
Решение: t v cos
¬:
t p p v v sin
, 2 2 + ¬:
. 2 2 v v +
Тогда
t t v a sin
e - ¬: ( )
e p t v v a v a cos
, 2 2 - + + ¬: ( ) . 2 2 v a a + + + p p
Смотри формулы 10 и 11 в таблице пункта 2. Пример 60. Найти изображение оригинала f(t)= t t sin ch × . Решение: Так как ( ) t t t - + = e e 2 1 ch , то ( ) t t t t f t t t t sin
e 2 1 sin e 2 1 sin
e e 2 1 ) ( - - + = + = ¬:
¬: 4 2 1 ) 1 ( 1 2 1 1 ) 1 ( 1 2 1 4 2 2 2 + + = + + × + + - × p p p p .
Заметим, что формула (15) позволяет найти оригиналы по заданному изображению.
. 2
) ( 2 p p p F + = Решение: . 1 ) 1 ( 1 2 1 ) ( 2 2 - + = + = p p p p F По формуле 7 таблицы пункта 2 известно, что 2 2
v -
: ®
sh t v Тогда 1 ) 1 ( 1 2 - + p : ® . sh e t t -
Пример 62. Найти оригинал по его изображению . 7 4 1 3 ) ( 2 + - - = p p p p F
известные выражения: ( )
( ) 2 2 2 2 2 2 3 ) 2 ( 3 3 5 3 ) 2 ( 2 3 3 ) 2 ( 5 ) 2 ( 3 7 4 1 3 + - × + + - - × = + - + - = + - -
p p p p p p p : ®
: ® ( ) ( ) . 3 sin e 3 5 3 cos e 3 2 2 t t t t +
5.5. Теорема упреждения.
При а > 0 имеет место соотношение: f(t+a) ¬:
÷ ÷ ø ö ç ç è æ × - ò - a pt ap dt t f p F 0 ) ( e ) ( e
(16) 5.6.Теорема умножения изображений.
ò
- = - t t d g t f d t g f 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (
q q q q q
¬; ) ( ) ( p G p F ×
(17)
Оригинал, соответствующий произведению двух изображений, равен свёртке (левая часть (17) ) оригиналов сомножителей.
Пример 63. Найти оригинал по его изображению ( ) 2 2 2 1 ) (
+ =
p F .
Решение: ( ) . 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 v v v + × + = + = p p p p F Известно, что 2 2
v +
: ®
® . sin 1 t v v × По формуле (17) ( ) 2 2 2 1 v +
: ®
) ò = - ×
d t 0 1 1 sin
sin q q v vq w w
( ) ( ) ( ) ò × - × = - - × =
t t t d t t 0 3 2 . cos sin 2 1 cos 2 cos 2 1
v v v q v q v v
Пример 64. Найти оригинал по его изображению ( ) 2 2 2 ) (
+ =
p p F .
Решение: Представим 2 2 2 2 1 ) (
v + × + =
p p p F . Так как 2 2
v +
: ®
® 2 2 , sin
1 v v v + × p p t : ® t v cos
, то
по формуле
( ) 2 2 2
+
: ® : ® ( ) ò × × = - × t t t d t 0 1 sin 2 1 cos sin
v v q q v vq v .
Пример 65. Найти оригинал по его изображению ( )
p p p ( )
. = - + + 4 3 2 2 10 2
Решение. «Организуем» смещение аргумента и применим результаты предыдущих примеров (63 и 64) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 10 2 4 1) 7 1)2
9 2 4 1 1)2
9 2 7 1 1)2
9 2
p p p p p p p - + + = + - + + = = ×
+ + + - × + + ® ( ( ( (
( ) 4 6 3 7 54 3 3 3 2 3 7 54 3 7 18 3 e t t t e t t t t e t t t t t - × × - - - = = - - + æ èç ö ø÷ æ èç ö ø÷ sin sin cos
sin cos
5.7. Интеграл Дюамеля. pF p G p d dt f g t d f t g f g t d t t ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ® - = - ¢ - ò ò q q q
q q q
0 0 0 (18)
О применении интеграла Дюамеля смотри пункт 9. 5.8.
Умножение оригиналов
i F q G p q dq a i a i ( ) ( )
lim ( ) (
) ¬ ® ¥ - - + ò 1 2 p w w w (19)
5.9. Изображение периодических оригиналов
Дана периодическая функция f t f t T ( )
( ), = +
- период.
f t f t T F p p e pT ( )
( ) ( ) ( ) , = + ¬ = - - y 1 (20)
где y( )
( ) .
f t e pt dt T = - ò 0 (21) Пример 66. Найти изображение периодического оригинала f t A t ( )
sin = w – выпрямленная синусоида. Решение. Период
= p w .
y w w w p w p w ( ) ( ) sin
p f t e pt dt A e pt tdt A p e p T = - = - = + + - ò ò æ è ç ö ø ÷ 2 2 1 0 0 ,
A p e p e p A p cth p ( )
. = + × + - - - = + w w p w p w w w p w 2 2 1 1 2 2 2
Обратное утверждение. Оригинал f t ( )
, изображение которого имеет вид (20), является периодической функцией периода T получающейся при периодическом продолжении функции j( )
с интервала [ ] 0, T на всю положительную часть оси t.
Пример 67. Найти оригинал по заданному изображению F p p T p p e pT e pT ( )
. = - × + - - - æ èç ö ø÷ 1 2 2 1 1 2 2 1
Решение. Здесь y( )
p p T p p e pT = - × + - ® æ èç ö ø÷ 1 2 2 1 1 2 2
T t T t T t t t T f t t п и t T п и t T - + - - = - × - = = = < < > æ èç ö ø÷ æ èç ö ø÷ ì í ï î ï 2 2 2 2 0 2 0 2 h h ( ) ( ) ( ) , р , р
68. Найти оригинал по изображению ( )
pT pT e pT p e pT ( )
( ) . = - - + - - - 2 2 3 1
Ответ: функция, получающаяся при периодическом продолжении функции j( )
t t Tt = - 2 с
интервала [ ]
0, T на всю положительную часть оси t.
В следующих задачах найти изображение периодического оригинала f t ( )
, являющегося периодическим продолжением функции j( )
с интервала [ ] 0, T на всю положительную часть оси t.
69. j( )
, р , р
t A п и t T A п и T t T = £ £ - £ £
ì í ï î ï 0 2 2 ответ: F p A p e pT e pT A p th pT ( )
. = × - - + - = 1 2 1 2 4
70. j( )
, р ( ), р t A T t п и t T A t T п и T t T = £ £ - £ £
ì í ï î ï 2 0 2 2 1 2 ответ: F p A T p th pT ( )
. = × 2 2 4
71. j( ) ( ), р t A t T п и t T = - £ £ 1 0 ответ: F p A p e pT A pT ( )
( ) . = - - - 1 2
72. j p ( ) sin
, р , р
t A t T п и t T п и T t T = £ £ £ £ ì í ï î ï 2 0 2 0 2 ответ: F p A p e pT T ( )
( )( ) , . = + - - = w w w p 2 2 1 2 2
5.10. Дифференцирование оригинала
¢
- f t pF p f ( )
( ) ( ), . . . . 0
n t p n F p p n f p n f f n ( )
( ) ( )
( ) ( ) . . . ( )
¬ - - - - ¢ - - - 1 0 2 0 1 0 (22)
5.11. Дифференцирование изображения
¢ ® - F p tf t ( )
( ), . . .
F n p n t n f t ( )
( ) ( ( ) ® -1) (23)
5.12.
Интегрирование оригинала
f d F p p t ( )
( ) q q ¬
ò 0 (24) Таким образом, операции интегрирования оригинала соответствует деление на p его
оригинала.
5.13. Интегрирование изображения
f t t p ( )
( ) ¬ ¥ ò (25)
Пример 73. Найти изображение функции f t e at e bt t ( )
. = -
Решение. Деление на t каждого слагаемого функции f t ( )
соответствует интегрированию его изображения (формула (25)). Имеем e at p a e bt p b ¬ - ¬ - 1 1 , . Тогда изображение F p p a p b dp p a p b p p b p a p ( )
ln ln . = - - - = - - ¥ = - - ¥ ò æ èç ö ø÷ 1 1
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|