где {\displaystyle {\mathcal {L}}}L обозначает производную Ли.
Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что
=0,
а если {\displaystyle M}M -2n {\displaystyle 2n}-мерно, то {\displaystyle \omega ^{\wedge n}} является формой объёма на {\displaystyle M}M.
Физическая интерпретация
Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:
N= q pp(p,q)
(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил F{\displaystyle \mathbf {F} }FfffFFFFс координатами x{\displaystyle \mathbf {x} }Xxxmmxxxx и импульсами {\displaystyle \mathbf {p} }p, теорему Лиувилля можно записать в виде
+ v* + * =0,
где {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}}v=x — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил{\displaystyle \mathbf {F} }F.
В классической статистической механике число частиц N{\displaystyle N} vvвелико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае {\displaystyle \partial \rho /\partial t=0} можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состоянийфункции распределения{\displaystyle \rho } равна любой функции гамильтониана {\displaystyle H} H, например, в распределении Максвелла-Больцмана{\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT}}, где {\displaystyle T}T — температура, {\displaystyle k}Kkkkkkkkkk k— постоянная Больцмана.
Запись через скобку Пуассона Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах{\displaystyle (q^{i},p_{j})}( , вид