Вопрос № 39. Приложения криволинейных интегралов.
1. Если подынтегральная функция равна единиц, то криволинейный интеграл
равен длине S кривой L, т.е.
2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z=f(x,y)≥0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Оz и заключенной между L и поверхностью z=f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
3. Если L=AB – материальная кривая с плотностью, равной ρ=ρ(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле
4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны
где ρ(х,у) – плотность распределения кривой L а - координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы
выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью ρ(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.
ПРИМЕРЫ:1. Вычислить криволинейный интеграл
где L – дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем
Следовательно, данный интеграл равен
Ответ:
Достарыңызбен бөлісу: |
