§ 3. Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Черт. 2.
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа = ОМ и = АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным радиусом, число — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют
также амплитудой) *).
Символ М (; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ± 2n, где п — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам — < < + , называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
х = cos ,
у = sin .
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26. Построить точки, данные полярными координатами:
A(3; ), B(2; ), С(З; ), D(4; 3), Е(5; 2) и F(1; — 1)
(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).
27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам
M1(3; ), M2 (2;—), M3 (3;—),
M 4(1; 2) и Ms(5; —1),
заданным в полярной системе координат.
28. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам
M1(1; ), M2 (5;—), M3 (2;—),
M 4(4; ) и Ms(3; —2),
заданным в полярной системе координат.
29. В полярной системе координат даны две вершины
A(3;) и B(5; )
параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма
30. В полярной системе координат даны точки А( 8; —) и B(6; ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31. В полярной системе координат даны точки
Достарыңызбен бөлісу: |
