4. Бірінші ретті біртектес дифференциалдық теңдеу.
Анықтама. Егер теңдігі орындалса, онда функциясы mөлшемді біртектес функция деп атайды.
Мысал.
функциясы үш өлшемді біртектес функция. Себебі, х және у аргументтерін t-ға көбейтсек,
- ноль өлшемді біртектес функция екенін көрсетейік.
Егер (1)
теңдеуіндегі және функциялары бірдей өлшемді біртектес функция болса, олда бұл теңдеу сол өлшемді біртектес дифференциалдық теңдеу деп аталады.
(1) теңдеуге ауыстыруын қолданып, оны айнымалылары бөлектенетін теңдеуге оңай келтіруге болатынын көрсетуге болады. Мұндағы u функциясы х-ке тәуелді ізделінді функция. Сонда бұл ауыстырудан , ал болады.
Кейбір есептерде аустыруын жасау қолайлы болады.
Мысалдар.
теңдеуін шешу керек.
болады. Бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Теңдеудің екі жағын да -ге бөлсек, теңдеуін аламыз. Бұдан
,
.
потенцирлесек, болады. Енді ауыстыруын u-дың орына қойсақ, немесе болады.
2. теңдеуін шешу керек.
Шешуі: болсын, бұдан , . Бұл өрнектерді берілген теңдеуге қойсақ,
;
.
деп ұйғарып, теңдеуді -ке бөлсек,
,
,
немесе болғандықтан, .
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі. Оны мына түрде де жазуға болады: ; ;
, бұдан , .
