2. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
1 Анықтама бойынша екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынандай болады:
(1)
Егер және - тұрақты, ал болса, онда екінші ретті сызықтық теңдеу тұрақты коэффициентті бертектес теңдеу деп аталады.
Сонымен тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеу
(2)
түрінде болады.
2 у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болсын.
Анықтама. Егер кесіндісінен алынған кез келген х үшін теңдігі орындалатындай саны табылса, онда у1 және у2 шешімдері кесіндісінде сызықты тәуелді деп , ал егер осындай саны табылмаса, онда у1 және у2 шешімдері сызықты тәуелсіз деп аталады, яғни қатынасы кесіндісінде тұрақты болмайды. Теорема 1. (2) теңдеудің у1 шешімін С тұрақты санына көбейтсек, ол да осы теңдеудің шешімі болады.
Дәлелдеу. -ді (2) теңдеуге қояйық. , бұдан
,
себебі у1 берілген теңдеудің шешімі болғандықтан болады. Бұдан -дің (2) теңдеудің шешімі болатындығын көрдік.
Теорема 2.(2) теңдеудің у1 және у2 шешімдерінің қосындысы да (2) теңдеудің шешімі болады.
Дәлелдеу. қосындысын (2) теңдеуге қояйық:
Демек берілген (2) теңдеудің шешімі болды.
Теорема 3. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері, ал С1 мен С2 – кез келген тұрақты сандар болса, онда
функциясы да (2) теңдеудің шешімі болады.
Бұл теоремадан сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін оның кез келген екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімі арқылы табуға болатынын көреміз.
ауыстыруын жасау арқылы теңдеудің екі дербес шешімін табуға болады. Бұл жағдайда (2) теңдеу мына түрде болады:
, , болғандықтан немесе .
болғандықтан
(3)
болады.
(3) теңдеу сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуі деп аталады.
Мынандай жағдайлар болуы мүмкін:
(3) теңдеудің түбірлері k1 және k2 әртүрлі нақты сандар: . Сонда , функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болады да, оның жалпы шешімі
(4)
түрде болады.
(3) теңдеудің түбірлері өз ара тең нақты сандар: . Бұл жағдайда бір дербес шешімді ал екіншісін түрінде аламыз. у1 және у2 шешімдері сызықты тәуелсіз, себебі . Сондықтан 3-теорема бойынша (2) теңдеудің жалпы шешімі
немесе (5)
түрінде болады.
(3) теңдеудің түбірлері комплекс сандар болсын: , . Бұл жағдайда (2) теңдеудің жалпы шешімі
(6)
(3) теңдеудің түбірлері таза жорымал сан болсын: , . Бұл жағдай егер , болғанда ғана орындалады. Сонда (2) теңдеудің жалпы шешімі
(7)
түрінде болады.
Мысалдар.
теңдеуді шешу керек.
Шешуі. Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі
Оның түбірлері , , яғни әртүрлі нақты сандар. Сонда берілген теңдеудің жалпы шешімі (4) формула бойынша
болады.
теңдеуін шешу керек.
Шешуі: Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі
немесе , бұдан , яғни характеристикалық теңдеудің түбірлері өзара тең нақты сандар. Сонда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:
.
.
Шешуі: Теңдеудің характеристикалық теңдеуі
,
ал оның түбірлері , , яғни түбірлері , болатын комплекс сандар. Сонда жалпы шешім:
.
