18.Функцияның экстремумы. Функцияның ең кіші және ең үлкен мәндері.
Анықтама. Кез келген х Х , 0 х х болғанда, ( ) ( )0 f x f x теңсіздігі орындалса, онда ( ) 0 f x мәнін Х аралығындағы f (x) функциясының ең үлкен мәні деп атайды. Белгіленуі: max ( ). 0 y f x x X Анықтама. Кез келген х Х , 0 х х болғанда, ( ) ( )0 f x f x теңсіздігі орындалса, онда ( ) 0 f x мәнін Х аралығындағы f (x) функциясының ең кіші мәні деп атайды. Белгіленуі: min ( ).
y f (x) функциясы a;b кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайтын нүктелерді және осы нүктелердегі мәндерін табайық.
Шешуі. Функцияның ең үлкен мәні үшін екі жағдай бар:
1) ең үлкен мән a;b кесіндісінің бір ұшында (1-1сурет) немесе екі ұшында да болуы мүмкін (1-2 сурет).
2) ең үлкен мән a;b кесіндісінің ішкі с нүктесінде болуы мүмкін (1-3 сурет).
Екінші жағдайда функцияның с нүктесіндегі мәні осы нүктенің аймағындағы функцияның мәнінен кіші емес, сондықтан с нүктесі y f (x) функциясы үшін максимум нүктесі болады. Онда с нүктесінде y f (x) функциясы дифференциалданбайды немесе туындысы нөлге тең болады. Тура осылай функцияның a;b кесіндісіндегі ең кіші мәні туралы тұжырым жасалады. 1-сурет a;b кесіндісінде y f (x) үзіліссіз функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табу алгоритмі:
1) функцияның туындысын және сындық нүктелерін табу;
2) табылған сындық нүктелердің арасынан a;b кесіндісіне тиісті нүктелерді алу;
3) кесіндінің ұштарындағы функцияның мәндерін, яғни f(a) және f(b)-ті табу;
4) a;bкесіндісіне тиісті туындысы нөлге тең болатын нүктелерде функцияның мәндерін табу;
5) туындысы болмайтын, бірақ a;b кесіндісіне тиісті нүктелерде функцияның мәндерін табу;
6) табылған мәндердің арасынан ең кіші және ең үлкен мәндерді анықтау.
19.Туындының геометриялық және механикалық мағыналары.
Теорема. Егер функциясы нүктеде дифференциалданушы болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады. Мысал. функциясы анқталу облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз, бірақ ол нүктесінде дифференциалданбайды, себебі .
, ал бұл шек жоқ.
