Теорема 2. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған болуы үшін А матрицасының меншікті сандары оң (теріс) болуы қажетті және жеткілікті.
Теорема 3. Квадраттық форма оң (теріс) анақталған болуы үшін А матрицасының бос минорлары оң (теріс) болуы қажетті және жеткілікті.
Мысал 1. Квадраттық форманың матрицасын жаз.
Шешуі: мұнда . Сондықтан
А=
Анықтама 2. Егер квадраттық форманың канондық түрінің әрбір қосылғышының коэффициенттері 1 немесе - 1 - ге тең болса , ондай квадраттық форманы нормаль түрдегі квадраттық форма дейміз . Нормаль түрдегі квадраттық форманың матрицасының бас диагоналындағы элементтері 1 немесе -1 - ге тең диагональдық матрица болады.
Мысал 2.
Канондық теңдеуге сызықтық түрлендіруін қолдансақ,оның
нормаль теңдеуін табамыз.
Белгілеу квадраттық форма үшін жиі қолданылады
.
Квадраттық формалар теориясы және оларды зерттеу кезінде қолданылатын коэффициенттердің сипатына көп жағдайда тәуелді болады нақты немесе күрделі сандар, рационал сандар, немесе бүтін сандар. Жылы сызықтық алгебра, аналитикалық геометрия, және квадраттық формалардың көпшілігінде коэффициенттер нақты немесе күрделі сандар болып табылады. Квадраттық формалардың алгебралық теориясында коэффициенттер белгілі бір элементтер болып табылады.
Квадраттық формалар теориясындағы маңызды сұрақ - квадраттық форманы қалай жеңілдетуге болады q айнымалылардың біртекті сызықтық өзгерісі бойынша. Байланысты негізгі теорема Якоби нақты квадраттық форма деп бекітеді q бар ортогональды қиғаштау.
,
сәйкес симметриялық матрица болатындай етіп диагональ, және бұл берілген айнымалылардың өзгеруімен жүзеге асырылады ортогональ матрица - бұл жағдайда коэффициенттер ауыстыруға дейін бірегей анықталады.
Белгілі бір квадраттық формаларды зерттеу, атап айтқанда берілген бүтін сан квадраттық форманың бүтін сандарға мәні бола ала ма деген сұрақ көптеген ғасырларға созылған. Осындай жағдайлардың бірі екі квадраттың қосындысы туралы Ферма теоремасы, бұл бүтін санды қашан формада көрсетуге болатындығын анықтайды , мұнда - бүтін сандар. Бұл мәселе табу проблемасымен байланысты.Пифагор үш есе, екінші мыңжылдықта пайда болған.
Достарыңызбен бөлісу: |
