Экстремумнің қажетті,  жеткілікті шарттары

Егер (х₀, у₀)  нүктесі үшін M(x,y)  U(x₀,y₀)   f(x,y) > f(x₀,y₀) 

( f(x,y) < f(x₀,y₀). ) теңсіздігі орындалатындай U(x₀,y₀) маңайы табылса, онда z = f(x,y) функциясы (х₀,у₀) нүктесінде локальдік (төңіректік) максимумге (минимумге) ие болады дейді.

(х₀,у₀) - нүктесін локальдік максимум (минимум) нүктесі, ал функцияның ол нүктеге сәйкес мәнін – функцияның максимум (минимум) мәні деп атайды. Локальдік максимум мен минимум мәндері жалпы атаумен локальдік экстремум деп аталады.( 3. 1 Сурет)

Суретте функцияның локальдік максимум мен минимумдері көрсетілген.

 z = f(x,y) функциясының P₀(х₀,у₀) нүктесінде экстремумі бар болса, онда оның осы нүктедегі дербес туындылары  ,   нөлге тең немесе функция ол нүктеде дифференциалданбайды.

Егер f функциясы үшін P₀(х₀,у₀) нүктесінде   = =0 шарт орындалса, онда Р₀ - f(x,y) функциясының стационар нүктесі деп аталады.

Салдар. Егер P₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданатын z = f(x,y) функциясы осы P₀  нүктеде экстремумге ие болса, онда немесе .

Дифференциалданатын z = f(x,y) функциясының Р₀(х₀,у₀)   нүктедегі экстремумнің жеткілікті шартының геометриялық мағынасы  функция графи-гінің осы нүктедегі жанама жазықтығының x,y – тәуелсіз айнымалылар жазықтығына параллель болатынын көрсетеді.

 С= ( х ;у ),   =АС-В²      болсын.  Онда:

1. Егер   >0 болса,  онда z = f(x,y)  Р₀-нүктесінде экстремумге ие болады, атап айтқанда,  А<0 болса - максимум,  А>0 болса — минимум.

2.  Егер  <0 болса, онда Р₀ -нүктесінде функция экстремум қабылдамайды.

 3. егер    =0 болса, онда қосымша зерттеу қажет болады.

п>2  болғанда келесі теореманы қолданамыз.

Теорема  М    нүктесі и= f(х ;...;х ) функциясының стационар нүктесі болсын.   Егер d²f(М )>0 болса, онда  функция)  М -нүктесінде максимумге, ал d²f(М )<0 болса, минимумге ие болады.

 

Мысал    Функцияның экстремумдерін табу керек   z=(х+2)²+(у -1)².

     Сондықтан М(-2;1)- функцияның  минимум нүктесі: