Қатты дененің тұрақты өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысы Айналмалы қозғалыстағы қатты дененің еркіндік дәреже саны бірге тең. Қатты дене айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін қорытып алу үшін механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерілерінің бас моментінің өзгеруі туралы теоремасын қолданайық, (1.3) өске қатысты мына түрге келеді:
, мұнда . Онда
. (1.4)
(1.4) өрнек қозғалмайтын өске қатысты қатты дене айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуі деп аталады. Оны былай да жазуға болады:
немесе .
Қозғалмайтын өске қатысты қатты дене айналмалы қозғалысының бастапқы шарттары: уақыт болғанда .
1 мысал. Вертикаль өске қатысты бұрыштық жылдамдықпен еркін айналып тұрған білік (2) пен дене (1) кедергі момент әсерінен тоқта бастайды. Момент дененің бұрыштық жылдамдығына пропорционал: . Бұрыштық жылдамдық екі есе кемігеннен кейін қосымша тежеуіне жүйе іске қосылады, радиусы білікті серіппе арқылы тежеуіш қалып 3 қысады (1, а – сурет). Серіппенің сығушы күші тұрақты; қалыптың сырғанау үйкеліс коэффициенті . Анықтау керек: 1) дене тоқтай бастағаннан және тежеуіш жүйе іске қосылған уақыт аралығындағы қанша айналым жасады; 2) тежеуіш жүйе іске қосылған уақыттан бастап дененің бұрыштық жылдамдығының өзгеру заңын; 3) тежеуіш жүйенің іске қосылғаннан дене тоқтағанша уақытын. Айналып тұрған денелердің инерция моменті деп алу керек. Біліктің тіреулердегі үйкеліс ескерілмейді.
Шешуі. 1,б – суретте келтірілген есептеу сүлбесі бойынша дене қозғалысының бірінші этапында оның өске қатысты айналуының дифференциалдық теңдеуі былай жазылады
, мұнда .
1 – сурет
Бұл теңдеудің сол жағында тұрған туындының ретін төмендетіп уақыт бойынша алынған туындыдан бұрыш бойынша алынған туындыға көшейік:
.
Онда
.
Айнымалыларды айырып және интегралдап, алатынымыз:
.
Интегралдау тұрақтыны анықтау үшін бастапқы шарттарды қолданайық. Бұдан және
.
Бұрыштық жылдамдығы екі есе азайған уақытқа дейін дененің жасаған айналымның саны
.
2. Дене өске қатысты айналуының екінші этапындағы (механикалық тежеуіш жүйе іске қосқан уақыттан бастап) дифференциалдық теңдеуі (1, в – суретте келтірілген сүлбесі бойынша) мынадай болады
.
Бұл жерде өске қатысты алынған үйкеліс күштердің моменті , мұнда - сырғанау үйкеліс күшінің модулі. Барлығын орындарына қойғаннан кейін алатынымыз:
.
Айнымалыларды айырып және интегралдап, алатынымыз:
.
Интегралдау тұрақтыны бастапқы шартынан анықтаймыз: екінші этаптың бастапқы уақытындағы бұрыштық жылдамдығы бірінші этаптың соңындағы бұрыштық жылдамдығына тең, яғни . Олай болса
, және
.
3. Механикалық тежеуіш жүйе іске қосқан уақыттан бастап дене 1 тоқтаған уақытқа дейін -ны мына шарттан табамыз: . Онда
.
