Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»



Pdf көрінісі
бет8/12
Дата28.10.2019
өлшемі1,54 Mb.
#50747
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Байланысты:
diffury demo


прямо так и сделайте!

 Я подожду…. 

 

Действие первое. Поскольку в нашем распоряжении есть частная производная 

1

2







y



x

x

F

, то нужная нам функция 



F

 восстанавливается с помощью обратного 

действия – частного интегрирования по «икс». Интегрирование осуществляется по тому 

же принципу, что и нахождение частных производных. 

 

Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается 

константой, распишу очень подробно: 

...


2

2

2



)

1

2



(

2











x

dx

dx

y

xdx

dx

y

x

F

, где 


)

y

 – некоторая, пока ещё 



неизвестная функция, зависящая только от «игрек». 

 

 



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

42 


Правильно ли найден интеграл? Выполним проверку, т.е. возьмём частную 

производную по «икс»: 

1

2

0



1

2

)



)

(

(



2











y



x

y

x

y

x

xy

x

F

x

x

 – получена исходная 



подынтегральная функция, в чём и требовалось убедиться 

 

Примечание



: надеюсь всем, понятно, почему 

0

)



)

(

(





x



y



 – функция 

)

y





 зависит 

только от «игрек», а, значит, является константой

 

Действие второе. Берем «недоделанный» результат 

)

(

2



y

x

xy

x

F





 и 

дифференцируем его по «игрек»: 

)

(

)



(

0

0



)

)

(



(

2

y



x

y

x

y

x

xy

x

y

F

y

y

y













 



 

Функцию 


)

y

 мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, 



поэтому запись 

)

y



y



 – совершенно законна. 

 

Действие третье. Перепишем результат предыдущего пункта: 

)

y



x

y

F

y





 и  



достаем из широких штанин листочек с производной: 

1

2







x



y

y

F

 

 



Приравниваем одно с другим: 

1

2



)

(







x



y

y

x

y

 



и уничтожаем всё, что можно уничтожить: 

1

2



)

(





y



y

y

 



 

Находим функцию 

)

y



, для этого нужно взять интеграл: 



C

y

y

dy

y

y





2

)



1

2

(



)

(



 

 

Заключительный аккорд: подставим найденную функцию 



C

y

y

y



2

)



(

 в 



«недоделанный» результат 

)

(



2

y

x

xy

x

F







C

y

y

x

xy

x

F





2

2



 

 

Ответ: общий интеграл: 



const

C

С

y

x

xy

y

x





где



,

0

2



2

 

 



Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные 

первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться 

исходное дифференциальное уравнение. Оно же получится и в результате прямого 

дифференцирования: 

0

)

1



2

(

)



1

2

(



0

)

1



2

(

)



1

2

(



0

)

1



2

(

)



1

2

(



0

0

1



2

2

)



0

(

)



(

2

2





























dx

y

x

dy

x

y

y

x

dx

dy

x

y

y

x

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

С

y

x

xy

y

x

 


© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

43 


Проделаем всё то же самое, только короче: 

Пример 27 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

4



6

(

)



4

3

3



(

2

2







dy



y

xy

dx

x

y

x

 

 



Решение: после неутешительного анализа на «другие типы», проверим, не является 

ли данный диффур уравнением в полным дифференциалах. Выписываем множители при 

дифференциалах: 

y

xy

y

xy

Q

x

y

x

P

4

6



)

4

6



(

,

4



3

3

2



2







 

 



Внимание!

 Не теряем «минус» при записи 

Q

 



Найдём частные производные: 

y

y

y

xy

x

Q

y

y

x

y

x

y

P

x

y

6

0



6

)

4



6

(

6



0

6

0



)

4

3



3

(

2



2















 



 

x

Q

y

P





, значит, уравнение 

0

)



4

6

(



)

4

3



3

(

2



2





dy

y

xy

dx

x

y

x

 является полным 

дифференциалом некоторой функции и имеет вид: 

0







dy



y

F

dx

x

F

 

 



В данном случае: 

x

y

x

x

F

4

3



3

2

2





 – будем работать с этой производной. 



y

xy

y

F

4

6





 – про эту производную пока забываем. 



 

1) Если 


x

y

x

x

F

4

3



3

2

2





, то: 



...

3

3



3

4

3



3

)

4



3

3

(



2

3

2



2

2

2













y

x

xdx

dx

y

dx

x

dx

x

y

x

F

 

где 



)

y

 – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек». 



 

Напоминаю, что когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается 

константой и выносится за значок интеграла. 

 

2) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта 



)

(

2



3

2

2



3

y

x

xy

x

F





 

и дифференцируем его по «игрек»: 

...

6

0



)

)

(



2

3

(



2

2

3











xy

y

x

xy

x

y

F

y

 



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

44 


3) Переписываем найденный результат: 

)

(



6

y

xy

y

F

y





 и вспоминаем про 



«забытую» производную:  

y

xy

y

F

4

6





 



 

Приравниваем и сокращаем: 



y

y

y

xy

y

xy

y

y

4

)



(

4

6



)

(

6









 



 

Примечание

: на практике решение обычно записывают короче, объединяя пункты 

№№2,3: 

)...


(

0

6



0

)

)



(

2

3



(

2

2



3

y

xy

y

x

xy

x

y

F

y

y











, то есть сразу же после 

нахождения производной приравнивается «забытая» производная. В последнем 

равенстве 

y

xy

y

xy

y

4

6



)

(

6









 проводятся сокращения, откуда следует: 

y

y

y

4

)



(





 

Восстанавливаем функцию 



)

y

 интегрированием по «игрек»: 



C

y

C

y

ydy

y







2



2

2

2



4

4

)



(

 



 

В «недоделанный» результат 

)

(

2



3

2

2



3

y

x

xy

x

F





 пункта №1  подставляем 

найденную функцию 



C

y

y



2

2



)

(



 

Ответ: общий интеграл: 



const

C

C

y

x

xy

x





где


,

0

2



2

3

2



2

2

3



 

 

Константу можно записывать и в правой части, но тогда возникает заморочка с её 



переобозначением, и поэтому я лично привык оставлять ответ именно в таком виде. 

 

Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка: 



...

3

3



)

2

2



3

(

2



2

2

2



2

3











y

x

C

y

x

xy

x

x

F

x

 

)



4

6

(



4

6

0



4

0

6



0

)

2



2

3

(



2

2

2



3

y

xy

y

xy

y

xy

C

y

x

xy

x

y

F

y













 



 

Составим дифференциальное уравнение 

0









dy

y

F

dx

x

F

0



)

4

6



(

)

4



3

3

(



2

2







dy

y

xy

dx

x

y

x

 

 



Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно. 

 

Второй способ состоит в дифференцировании неявно заданной функции: 



const

C

C

y

x

xy

x





где


,

0

2



2

3

2



2

2

3



 – с тем же итоговым результатом. 

 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

45 


По «горячим следам»

 решаем самостоятельно!  



Пример 28 

0

)



6

6

(



)

3

3



6

(

2



2





dy

xy

x

dx

y

x

y

 и выполнить проверку. 

 

Образец решения я записал максимально коротко и без пунктов, то есть приблизил 



его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике. 

 

Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим ещё пару примеров. 



Пример 29 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. 

0

1

)



1

(

)



1

(

2



2

2

2







x



dy

e

x

dx

e

x

y

y

 

 



…ну а кому сейчас легко?  

 

Решение: после предварительного анализа, проверим, является ли данное ДУ 

уравнением в полных дифференциалах. Выпишем члены при дифференциалах: 

2

2



2

1

,



)

1

(



)

1

(



2

x

e

Q

x

e

x

P

y

y





 

 

и найдём частные производные 



...

)

1



(

2

)



1

(

)



1

(

2



)

1

(



)

1

(



2

2

2



2

2

2



2



















x

x

e

x

x

x

e

x

y

P

y

y

y

y

 

– обратите внимание, как за знак производной выносятся целые выражения с 



«мёртвыми» переменными: 

2

2



2

2

2



2

2

1



2

2

)



1

(

2



)

2

0



(

)

1



(

)

1



(

)

1



(

)

)



1

((

1



x

xe

x

x

e

x

x

e

x

e

x

e

x

Q

y

y

x

y

x

y

x

y



























 

 

x



Q

y

P





, значит, уравнение 

0

1



)

1

(



)

1

(



2

2

2



2





x

dy

e

x

dx

e

x

y

y

 является полным 

дифференциалом некоторой функции 

F

 и имеет вид: 

0









dy

y

F

dx

x

F

 

 



То есть, в нашем распоряжении оказываются частные производные первого 

порядка: 

2

2

)



1

(

)



1

(

2



x

e

x

x

F

y





 – работаем с этой производной 

2

x



e

y

F

y



 – про эту производную пока забываем 



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

46 


Если 

2

2



)

1

(



)

1

(



2

x

e

x

x

F

y





, то: 

...


)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

1

(



2

2

2



2

2

2











x

x

d

e

x

dx

e

x

F

y

y

 

Здесь 



)

1

(



y

e

 является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам 



интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала

 

Находим частную производную по «игрек»: 



2

2

2



1

)

(



1

)

(



1

1

x



e

y

x

e

y

x

e

y

F

y

y

y

y

y



















 

Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения 



производной сразу приравнивается «забытая» производная 

2

x



e

y

F

y





 

Из последнего равенства 

2

2

1



)

(

1



x

e

y

x

e

y

y

y





 следует, что 

0

)

(



 y



y

, это 



простейший интеграл: 

const

C

dy

y



0



)

(



 

 

Подставляем найденную функцию 



C

)

(



 в «недоделанный» результат 

)

(

1



1

2

y



x

e

F

y





 



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




©www.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет