Физикадан есептерді шығарудың алгоритмдік және эвристикалық тәсілдері

Енді (2) квадрат теңдіктің әр түбірінің мағынасы туралы ойланайық. v₀/g дененің максималды биіктікке көтерілу уақыты болғандықтан, радикал алдыңдағы "минус" таңбасы бар t₁ мәні дененің берілген Н биіктікке көтерілу уақытына сәйкес келеді, ал радикал алдыңдағы "плюс" таңбасы бар t₂ мәні уақытты анықтайды, ол уақыт біткен соң дене қайтадан Н биіктікте болады, төмен түскенде:

Тапсырманың шартында уақыт аралығы -ның t₂ және t₁ мәндерінің айырымына тең екені анық: t₀=t₂ –t_1. Осында t₂ және t₁ мәндерін қоя отырып:

Осыдан

Эвристикалық тәсілде келтірілген есепті бастапқы (1) теңдікті қолданбай шешуге болады, ол үшін дене А нүктесінен Н биіктікке t₀/2 уақытта көтеріліп, тоқтап, кейін А нүктесіне дейін t₀/2 уақытта түсетінін аңғару керек. А нүктесіне дейін құлаған кезде дене жылдамдығын алуға үлгіреді. Енді дене А нүктесінен жер бетіне дейінгі Н биіктікке тең болатын жолды өткенде ие болатын v жылдамдықты табу оңай:

Эвристикалық тәсілге негізделген шешім жоғарыда келтірілген шешім секілді қатаң екені аңғарылады немесе ол жоғары вертикаль лақтырылған дененің теңайнымалы қозғалыс кезінде бастапқы және соңғы нүктелердегі орын ауыстыру мен жылдамдық арасындағы кинематикалық тәуелділігінің, көтерілу және түсу уақытының бірдеу болу фактын ғана қолданады. Жердің тартылу өрісіндегі қозғалыста қолданатын бұл қатынас энергияның сақталу заңына сәйкес келеді.

Эвристикалық тәсіл айқын түрде ешқандай қатынастарды жазбай -ақ жауапты алуға мүмкіндік береді. Келесі есепті қарастырайық.

Жылжымайтын блокка созылмайтын жіп тартылды, оның соңына массалары т және М жүктер бекітілді, сонда т << М. Үйкелісті, блоктардың, жіптің массаларын ескермей жүктер қозғалған кезде жіптің тартылу күшін табу керек (сурет 1).

Сурет 1

Екі жүктің қозғалыс теңдеуін жазудың орнына есептің шартында көрсетілген т << М теңсіздік орындалған кезде ауыр жүк еркін, яғни g - ға жуық үдеумен құлайтынын аңғаруға болады. Бірақ жіптің тартылмау күшінен жеңіл жүк шамасы бойынша тең, жоғары бағытталған сондай үдеумен көтеріледі. Ол үшін оған жіптен әрекет ететін күш тg ауырлық күшінен екі есе үлкен болу керек. Сондықтан жіптің тарту күші Т ≈ тg. Блоктың массасын ескермеуге болатындықтан, жіптің тарту күші блоктың екі жағында да тең болады.

Эвристикалық тәсіл физикалық есептерді шығаруда зерттелетін құбылыстың физикалық моделін құрастыру сұрағымен тығыз байланысты. Эвристикалық тәсілдің негізіне қарастырылатын үрдістің тривиалды емес моделін таңдау жатады.

Осылайша, жақсы есептерді шығаруға үйрету үрдісін әдістемелік қамтамасыз ету үшін авторлар физикалық есептерді шешуге үйретудің жалпы сұрақтары дәстүрлі талқыланатын әдістемелік әдебиеттердің үлкен құндылықтарын ерекше атап өтеді.

4. 
   Математикалық аппаратты қолдануға қойылатын талаптар
   

Оқушылардың математика сабағында алған білімдері физика сабақтарындағы машықтануда мүмкіндігінше тез қолдануы тиіс. Есеп шығару сабақтарында бұл қарқынды жүзеге асырылады.

Орта мектепте физиканың математикамен тізбектей уақытша пәнаралық байланысын қамтамасыз ету оңай емес, себебі әр оқу курсында оқу материалының мазмұндалуының нақты тәртібін шарттайтын ғылымның логикасы сақталу тиіс. Мұнда басты бағытты келесі жағдай қарастырады: физикалық есептерді шығаруға оқыту кезінде математикалық аппараттың қолдануы келесі әдістемелік талаптарды қанағаттандыруы тиіс.

1. Қолданатын математикалық аппаратқа қойылатын негізгі талап - есепте қарастырылатын физикалық құбылысқа адекваттылығы. Есептің шығарылуында міндетті емес, тіпті қажеті жоқ тұтас бөлшектер, сонымен қатар аралық бөлек формулаларды қолдану дұрыс емес.

Сәйкес математикалық аппаратты таңдауға физикалық теорияның өзі көмектеседі, оның шегінде нақты есеп шығарылады.

Есепте қарастырылатын үрдісті сипаттайтын, құбылыстың немесе үрдістің өзіне тән емес қосымша элементтерін қоспайтын, математикалық құралын табу үлкен мәнге ие болады.

Дидактикалық жоспарда бұл идея мұғалім есеп шығаруды үйрету кезінде мүмкіндігінше физикалық заңдардың инвариантты ерекшеліктері анық, оқушыларға зерттелетін сұрақтарды қолжетімсіз ететін, құбылыстың физикалық мәнін түсінуге еш көмектеспейтін математикалық құралдарсыз көрініс табуы керек деген тұжырыммен түрленеді. Сонда күрделі шынайы физикалық құбылыстан оның теориялық моделі -идеалды физикалық-математикалық конструкцияларға көшу қажеттілігінің әдістемелік сипаттамасы анық ескерілмейді.

2. Жалпы сипаттама физика қарапайымдылығының әдістемелік принципі көрініс табатын математикалық аппараттың физикалық есебін шешу үшін таңдаманың оптималдылық талабына ие болады.

Бұл талаптар дәстүрлі алгебра, геометрия мен талдауға бөлінбейтін және аралық тараулары - алгебралық геометрия, алгебралық топология және тағы басқалары пайда болған математика дамуының заманауи қарқындылығына сәйкес келеді. Математиканың қиынырақ теориялық мәселелерін шешу алгерба, геометрия мен талдаудың синтезин, тіпті ЭЕМ қолдануын талап етеді. Сондықтан физикалық есептерді шешу кезінде "таза аналитикалық" немесе "таза геометриялық" дәлелдерді алуға ұмтылмау қажет. Математикалық бөлшектерді максимал қарапайым жасау керек, сонымен қатар оқушылардың математиканың әртүрлі тарауларынан алған барлық білімдерін қолдану керек. Бұндай жол арқылы ғана оқушылардың ойлау қабілеттері заманауи ғылымның әдістемелік тәсілімен сәйкес дамиды.

Оқушыларда математикалық дәстүрдің дамуы қарастырылатын құбылыстардың физикалық мағынасын талдай білу дағдысының дамуы секілді физикалық есептерді шығаруға оқытуда маңызды рөл атқарады. Бұл, әсіресе, зерттелетін құбылысты сипаттайтын физикалық заңдарды тұжырымдау мүмкіндігі туған жағдайда үлкен маңызға ие болады.

3. Таңдалған математикалық аппарат қолжетімді болу керек және оқушылардың математикалық дайындығына сәйкес келуі керек. Есепте қарастырылатын физикалық құбылыстың сандық сипаттамасының қарапайым математикалық құралы - оқушылар қандай да бір есепті шешу нәтижесінде меңгеруі тиіс білімнің қыры мен сырын ұғынудың ең үздік педагогикалық алғышарттарының қызметін атқарады.

Айтылған талаптар физикадан есептерді шешуді үйретуде нақты математикалық сызбалардың қатал байланысының сәйкестенбеуін білдіреді.

Айтылған талаптарды мысалдармен келтірейік.

Дене көкжиекпен α бұрыш жасап, бастапқы жылдамдықсыз h биіктіктен көлбеу жазықтыққа құлайды және онымен серпімді соқтығысады. Көлбеу жазықтықты бойлай отырып дене қандай қашықтықта оны екінші рет жанап өтеді?

Ең алдымен, бұл есепте дененің бастапқы вертикаль құлауын қамтитын қозғалыстың ортақ теңдеуін жазуға тырысу керек екенін ерекше атап өту керек. Көлбеу жазықтыққа соқтығысу сәтінде дененің жылдамдығы серпіліспен өзгеретіндіктен, оның қозғалысы көлбеу жазықтықпен бірінші соқтығысқанға дейін және келесі соқтығыстар аралығында бірқалыпты үдемелі болады.

Дененің бірінші және екінші соқтығысу арасындағы орын ауыстыру векторын қарастырамыз. Ол үшін келесі теңдік дұрыс:

(3)

Мұндағы v₀ − бірінші соққыдан кейін дененің көлбеу жазықтықтан серпілу жылдамдығы. Дене соққысының серпімді қасиеттіне байланысты жылдамдықтың модулі соққыға дейін және кейін тең, яғни v₀²=2gh, соққы үрдісін сипаттайтын бұрыштар 2-суретте көрсетілгендей мәндерге ие болады.

Сурет 2

Есептің шешімі бізді қызықтыратын шаманы анықтау мақсатында (3) ші теңдікті векторлық түрлендіруді қамтиды. Мұнда әртүрлі математикалық нұсқалар қарастырылуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, стандартты - таңдалған координат жүйесінде оське векторлық теңдікті проекциялау қолдану мүмкін.

Сурет 3

Сонда осьті дұрыс немесе дұрыс емес таңдау сәйкесінше көбейткіштерді жеңілдету немесе күрделендіру мүмкін. (Жердің тартылыс өрісінде дененің қозғалыс траекториясы жазық болғандықтан, егер векторы х, у жазықтықтарында жатса, (3) теңдігі екі скалярларға сәйкес келеді).

х және у осьтерінде (3) теңдікті проекциялау нәтижесінде (4) теңдіктің алынуын анық түсіндіру қажет.

Алғашқы (4) теңдіктен t қорыта келе

t= lcosα/v₀sin2α=l/2 v₀sinα

екінші теңдікке қойсақ

немесе, v²₀=2gh қоя отырып соңында аламыз:

Теңдікті жазу кезінде екі еселік бұрыш үшін косинустың тригонометриялық формуласын қолдану қажет болғанына назар аударайық.

Сурет 4

Жалпы көбейткіштер өте күрделі. Х´ және У´ осьтерін 4-суретте көрсетілгендей таңдасақ, оларды жеңілдетуге болады. Бұл жағдайда (3) теңдікті Х´ и У´ осьтеріне проекциялап, келесі теңдікті аламыз:

Енді соңғы (7) теңдікте лезде t = 2v₀/g табамыз. Екінші соқтығыстың ұшу уақыты жазықтықтың бұрылу бұрышына тәуелсіз (t=0 екінші түбірі есептің шартына сәйкес келмейді). Алғашқы (7) теңдігіне t қойған кезде:

Шешім әлдеқайда қысқаша жазылды, сонымен қатар ұшу уақытының бұрылу бұрышына тәуелсіз екені анықталды. Екі еселік бұрыш косинусының формуласының да керегі жоқ болды. Бірақ бұндай шешім әдісін қолданған кезде (3) теңдікте сонда да у´ осіне ді проекциялау кезінде бұрыштың тригонометриялық функциясын қолдану қажет. (1) шешімде проекциялау әдісін қолданбаған жағдайда біз бұған тап болмас едік.

Сурет 5

Сондықтан (3) теңдікке сәйкес келетін орын ауыстыру үшбұрышы 5-суретте көрсетілген түрге ие болады, себебі үшбұрыштағы екі бұрыш тең, ол теңбүйірлі. Бұл бірден келесі теңдікті береді:

Осыдан t=2v₀/g. Енді келесі теңдікті аламыз:

Осылайша, векторлық теңдіктердің геометриялық интерпретациясын қолдану дәлдікті жоғалтпай, есептеулерді әлдеқайда жеңілдетуге мүмкіндік беретінін көрсетеді, бұл әсіресе оқушыларға геометриядан жақсы таныс материалды қолдануға мүмкіндік береді.

Басқа мысал ретінде келесі есепті қарастырамыз.

Жәшікті горизонталь бетпен аз күш жұмсай отырып сүйрету үшін ауыр жәшіктің жібін қандай α бұрыш жасай тарту керек?

Қарапайым жақындату кезінде жәшікті материалдық нүкте деп есептейміз. Бұл жағдайда 6-суретте көрсетілген барлық күштер бір нүктеге - жәшіктер массаларының орталығына түсірілді деп есептеуге болады.

Егер жәшік бірқалыпты қозғалса, Ньютонның екінші заңына сәйкес:

+++m = 0

(8)

Осында (9) теңдіктен N қойғанда:

Енді екінші (2) теңдік келесі түрге ие болады:

Осыдан

F =

(10)

Көрсеткіштің алымы (10) α бұрышқа тәуелді емес, сондықтан бөлшек максималды болғанда күш F азырақ болады. Сондықтан көрсеткіштің максимумы

f(α) = cos α +μ sin α

белгілейміз

μ = tg φ =

(11)

f (α) = cos (α) + sin α =

Белгілейтін болсақ, (11) ауысым арқашан болуы мүмкін өйткені тангенс кез-келген заттық мән қабылдай алады. f (α) α=φ=arctg μ кезінде максималды екені көрінеді.

Сурет 6

Енді назарымызды жазылған (11) қатынастағы φ өлшемі анық физикалық мағынаға ие. Кулон-Амонтон заңы бойынша φ – бұл бұрыш, векторлы қосынды күші және бетке нормалды болады. (сурет7)

+m+=0

(13)

Сурет 7

Енді теңдіктің шешімі геометриялық зерттеуіне әкеледі (12). Алдын-ала салыстырмалы бағыты ғана белгілі. m векторының сонынан түзу сызық өткіземіз, бұрыш φ = arctg μ вертикалды. Бұл түзуде күшін жинақтап, m векторынның соңы мен басын қиыстырамыз. (12) теңдеудегі күш үшбұрышты күшті тұйықтау керек, яғни векторынның соңы мен m векторынның басын қосады. Сурет 6 көрінетіндей күштің өлшемі азырақ болады, оның бағыты түзу бұрыш бағытымен, яғни φ бұрыш горизонттпен.

Назар аударатын болсақ, векторлық теңсіздікте (12) геометриялық түсіндірменің қолдануы, бағытты оңай табумен қатар, шаманың минималды күші _min оңай табуға септігін тигізеді. 6-ші суретте көрінеді, мына _min=mg sin φ.

Есептің оңай шешілу мүмкіндігі, физикалық өлшемдердің экстрималды анықталуымен байланысы – осы әдістің тағы бір тиімді жолы. Осы әдіс, қораптың үдеумен қозғалуына үлкен күшпен жіппен тарту керектігін көрсетеді. Бірақ күш сол бұрышты құрайды φ=arctg μ горизонттпен.

Қарастырылған мысалдар есептеу әдісінің дұрыс таңдалғанның көрсетеді. Қозғалыс теңдеуі киниматика мен динамикада векторлық түрде жазылады, бірақ нақты шешу әдісі әр түрлі болуы мүмкін. Геометриялық әдістердің векторлық теңдеулерде анализін қолдану жеңілдетіп қоймай, сонымен қатар физикалық мағынасын терең түсінуге ықпалын тигізеді. Белгілейтін болсақ, берілген есептер физикалық заңдарға сүйеніп методологиянның бірінші деңгейімен шығарылған. Дәл осы деңгейде математикалық аппараттың таңдауы кең болады.