Ә. Н. ШыНыбеков, Д. Ә. ШыНыбеков

ескерту:

Мұнда  1-тапсырма  күрделірек.  Сондықтан  екі  топқа  да  жазықтықтың  

сфера бойында жататын кез келген бір 

М(х

0

, 

у

0

, 

z

0

) нүктесін алып, осы нүкте  

Жазықтықтың теңдеуі

69

үшін  қандай  шарт  орындалатынын  сұраңыз.  Мысалы  жазықтық  үшін,  M M

0







  

және n

a b c



=

(

)

⊥

; ;



 векторлары қандай қатынаста болады? Ортогональ векторлардың скаляр 

көбейтіндісі неге тең және т.с.с.

Ал сфера үшін 

М

0

М кесіндісі мен R-дің арасында қандай байланыс бар? т.с.с

2-ретті жалпы теңдеумен берілген сфера теңдеуін толық квадратын бөліп алу 

амалымен оның центрі мен радиусын анықтау тәсілін көрсету керек.

Оқушыларды  шағын  топтарға  біріктіріп,  оларға  кесінділік  теңдеумен  

жазылған жазықтық теңдеуін және сфера теңдеуін беріңіз.

Мысалы,  

x

y

z

3

4

2

1

+ + =  және  x

y

z

−

(

)

+

+

(

)

+

−

(

)

=

1

3

2

16

2

2

2

 сияқты. 

Тапсырма: жазықтық (сфера) бойында жататын және жатпайтын нүктелер- 

ді анықтауды тапсырыңыз және келесі кесте толтырылады.

Нүктелер

Сфера теңдеуін анықтайтын өрнек таңбасы

Сфера бойында жататын нүктелер 

үшін

Сфераның ішкі бөлігінде орналас- 

қан нүктелер үшін

Сфераның сыртқы бөлігінде орна- 

ласқан нүкте үшін

Жазықтық  үшін  де  осындай  кесте  толтыру  керек.  Осындай  кестелерді 

толтыру нәтижесінде оқушылар өз беттерінше қорытынды жасауы қажет.

Жаттығуларға шолу:

3.96. 

n



=

−

(

)

1 0

1

; ;

. 

3.98. 3) 

x

y

z

+

(

)

+

−

(

)

+

−

(

)

2

1

4

9

2

2

2

 .

3.99. 1) Алдымен 

AB AB

 

  



:

;

;

=

−

(

)

2

2 6

 векторының координаталарын табу керек: 

AB AB

 

  



:

;

;

=

−

(

)

2

2 6

=(3  –1;  0  –2;  4+2)  немесе 

AB AB

 

  



:

;

;

=

−

(

)

2

2 6 .  Онда  бізге  қажет  жазықтықтың 

нормаль векторы ретінде 

n

AB



 



=

−

(

)

1

1 3

;

;



 векторын алуға болады.

Сонда жазықтық теңдеуі былай жазылады:

x

y

z

x y

z

−

(

)

−

−

(

)

+

+

(

)

= ⇒ − +

+ =

1

2

3

2

0

3

7

0 .

70

3.103. 2)  3

2

6

0

3

2

6

6

x

y z

x

y z

−

− − = ⇒

−

− =

( )

:

⇒

⇒

+

−

( )

+

−

( )

=

x

y

z

2

3

6

1  (47-сурет).

3.104. 2) 

MN кесіндісінің ортасы С нүктесі жазықтық- 

тың бастапқы нүктесі, ал  MN

 



 векторы нормаль векторы 

болады.

 

x

y

z

C

c

c

c

= + =

= + =

= − = ⇒

(

)

2 0

2

1

5 3

2

4

4 4

2

0

1 4 0

;

;

; ;

 (1;4;0);

MN

 



=  (–2;  –2;  –8),  онда

  n

MN



 



=

(

)

1 1 4

; ;

.



  Сондықтан  

x

y

z

x y

z

−

(

)

+

−

(

)

+

−

(

)

= ⇒ + +

− =

1

4

4

0

0

4

5

0.

3.105. 1) Сфера радиусы 

R = СМ, R =

+

+

=

3

0

4

5

3

2

2

. 

Онда  x

y

z

−

(

)

+

−

(

)

+

+

(

)

=

1

2

2

25

2

2

2

.

3.106. 4) 

x

y

z

az

x

y

z

az a

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

=

⇒

+

+

−

+

=

⇒

x

y

z a

a

C

a

2

2

2

2

0 0

+

+

−

(

)

=

⇒

(

)

, ,

, 

R = a.

3.109. Егер бізге қажет жазықтық кесіндісінің теңдеуі 

x

a

y

b

z

c

+ + = 1 түрінде 

жазылса, онда 

А, В және С нүктелері осы теңдеуді қанағаттандыруы қажет: 

1

2

5

1

3

0

0

1

0

0

1

1

3

1

1

3

2

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

c

b

− + =

− + + =

+ + =



















⇒

= −

=

− −

,

,

,

,

++ =















⇒

= −

=

=















5

1

1

3

1

6

11

a

c

b

,

,

.

 

Осыдан 

x

y

z

x

y

z

−

+

+ = ⇒

−

−

+ =

3

11

6

1

1

2

11

6

6

0.

z

–3

x

y

2

0

–6

47-сурет

71

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

– Түзудің канондық теңдеуін 

құрастыру;

– түзу теңдеуінің  

канондық 

түрінен 

пара- 

метрлік түріне көшу;

– берілген екі нүкте арқылы 

өтетін түзудің теңдеуін құру

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков,  Р. Н. Жұмабаев. 

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 

басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік  нұсқаулар.  Оқушыларды  шағын  топтарға  іріктеп,  оқулық- 

тағы  1-мысалды  өз  беттерінше  талқылауды  тапсырыңыз.  Нәтижесін  сынып- 

пен  бірге  қарастырып  I,  II,  III  ережелерді  өз  беттерінше  тұжырымдауына  

жағдай  жасаңыз.  Осы  мақсатта  төмендегі  тапсырмалар  жазылған  парақшалар 

таратып векторлық теңдіктерді геометриялық тілге аударуды тапсырыңыз.

1)  AB

AC

 



 



=

⇒ ?                

 2) AB

AC

 



 



= ⋅

⇒

α

?

3)  AB

CD

 



 



= ⋅

⇒

α

?            

 4) 

OA

OB

OC

 



 



 



= ⋅

+ ⋅

⇒

α

β

?

5)  AB CD

 

  



⋅

= ⇒

0

?                 

     және т.с.с.

Жаттығуларға шолу:

3.122.  2) 

MN

 



= (–3;  4;  0),  MP

 



= (–2;  2;  2)    MN MP

 





 



,  яғни 

М,  N,  P  

нүктелері бір түзу бойында жатпайды.

3.124.  AB

DC

 



 



=

 теңдігін координаталық түрде қолдану керек.

3.126. Егер ∠

А — тік бұрыш болса,  AB AC

 

  



⋅

= 0  болатынын қолдану керек.

кеңістіктегі түзудің теңдеуі

72

ескерту:

Оқушылардың векторларды жазып көрсеткенде нұсқама символын дұрыс қол- 

дануын мұқият қадағалаңыз.

3.130. 

АВС жазықтығы теңдеуі  x

a

y

b

z

c

+ + = 1 болсын. Онда 

2

1

2

1

1

2

1

1

2

3

1

4

2

0

1

2

1

2

a

b

c

a

b

c

a

b

b

c

b

c

a

− − =

+ + =

+ =



















⇒

+ =

+ =

+

,

,

,

,

3

3

1

1

3

1

2

3

1

1

b

b

c

a

=



















⇒

= −

=

=













;

,

.

Осыдан 

АВС жазықтығы теңдеуі 3

2

3

x y

z

− +

= . түрінде жазылады. Осы теңдеу- 

ді 

D нүктесі координаталары қанағаттандыратынын тексереміз: 

3 5 0 2 6

3

3

3

⋅ − +

−

( )

= ⇒ ≡ , яғни АВС және D нүктелері бір жазықтық бойында 

жатады.

3.133. Берілгені 

АВСD пирамидасы,

 

AE = ED, KF = FD,

KP = PC, BQ = QC.

Дәлелдеу керек: 

Q

EFP

∈

 

▲  ЕF  кесіндісі  —  ADK  үшбұрышының  орта  

сызығы 

∆

⇒

ADK

EF AK

 





 



  (48-сурет). 

PQ  кесіндісі  —  

KВС  үшбұрышының  орта  сызығы.  Онда  FF, 

PQ  нүктелері  бір  жазықтық  бойында  жатады: 

Q

EFP

∈

■

D

B

K

F

A

E

C

Q

P

48-сурет

МАзМҰНы

«Геометрия-10» оқулығының құрылымы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Планиметрия курсын қайталау  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1–бөлім. Түзу мен жазықтықтың параллельдігі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2–бөлім. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3–бөлім. Кеңістіктегі векторлар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Оқу-әдістемелік басылым

Шыныбеков Әбдухали Насырұлы

Шыныбеков Данияр Әбдухалиұлы

ГеоМеТРИЯ

оқыту әдістемесі

Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика

бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған

Редакторы 

Ж. Баданова

Көркемдеуші редактор 

А. Лукманов

Техникалық редактор 

О. Рысалиева

Корректор 

Ұ. Бахова

Компьютерде беттеген

 А. Куватова 

ИБ №051

Теруге 11.02.2019 берілді. Басуға 29.06.2019 қол қойылды. Пішімі 70×90

1

/

16

. 

Офсеттік қағаз. Әріп түрі «Мектептік».  

Шартты баспа табағы 5,56. Есептік баспа табағы 4,14. Таралымы 1000 дана. 

Тапсырыс №4461.

«Атамұра Корпорациясы» ЖШС, 050000,  Алматы, қаласы. Абылай хан, 75.

Қазақстан Республикасы «Атамұра Корпорациясы» ЖШС-нің

Полиграфкомбинаты 050002, Алматы қаласы, М. Мақатаев көшесі, 41.