5. Айнымалы таңбалы қатарлар және олардың кейбір қасиеттері. Анықтама 1. Ауыспалы таңбалы қатарлар және мүшелерінің таңбалары кез келген тәртіппен өзгеретін қатарлар айнымалы таңбалы қатарлар деп аталады.
Сонымен ауыспалы таңбалы қатарлар айнымалы таңбалы қатарлардың дербес түрі болып табылады.
Анықтама 2. Егер келесі қатары, яғни айнымалы таңбалы қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған қатар жинақталатын болса, онда айнымалы таңбалы қатары да жинақталады. Бұл жағдайда қатары абсолютті жинақталады дейді.
Теорема 1. (айнымалы таңбалы қатардың абсолют жинақталуының Коши критерийі). қатары абсолютті жинақталуы үшін кез келген үшін бір саны табылып, барлық және бүтін сандары үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Теорема 2. Егер қатары абсолютті жинақталса, онда ол қатардың мүшелерінің орнын кез келген ауыстыру арқылы алынған қатар да абсолютті жинақталады және оның қосындысы берілген қатардың қосындысына тең болады.
Қатарларды қосу және алу. Егер айнымалы таңбалы және қатарлары абсолютті жинақталса, онда және қатарлары да абсолютті жинақталады.
Теорема 3. Егер және қатарлары абсолютті жинақталса және олардың қосындылары сәйкес және болса, онда келесі
қатары да абсолютті жинақталады.
Бұл қатар берілген қатарлардың Коши бойынша көбейтіндісі деп аталады. Оның қосындысы болады.
Анықтама. Егер қатары жинақталмайтын болса, онда жинақталатын қатары шартты жинақталады деп атайды.
Басқаша айтқанда айнымалы таңбалы қатар жинақталатын болып, ал оның абсолют шамаларынан құрылған қатар жинақталмайтын болса, онда ол қатар шартты жинақталады.
Теорема 4. Егер айнымалы таңбалы қатар абсолютті жинақталса, онда ол жәй да жинақталады.
Риман теоремасы. Егер қатары шартты жинақталса, онда оның мүшелерінің орнын алмастыру жолымен
қосындысы кез келген санына тең жаңа қатар құруға болады.
