Факультет: Механики и математики

Подготовил: Сейлхан Омиржан

В классической механике для финитного движения материальных точек (т. е. для такого движения, в котором их координаты и, разумеется, скорости остаются все время конечными) имеет место теорема вириала, согласно которой среднее значение кинетической энергии  связано со средним значением «вириала», т. е. некоторого выражения, линейного относительно производных от потенциальной энергии  по прямоугольным координатам, с коэффициентами, пропорциональными этим координатам. В случае одной материальной точки мы имеем для вириала выражение

где  потенциальная энергия. Но из уравнений движения

вытекает, что

С другой стороны, мы имеем

или

Но легко видеть, что среднее по времени от левой части выражения равно нулю (это есть разность значений выражения для двух далеко отстоящих моментов времени, деленная на промежуток времени между ними). Таким образом,

В этом и заключается теорема вириала классической механики для случая материальной точки. Она легко может быть обобщена на случай системы материальных точек.

Если потенциальная энергия  есть однородная функция степени  от координат, то, согласно, мы будем иметь

и, следовательно,

Переходим теперь к квантовой механике. Среднему по времени от некоторой классической величины можно сопоставить в квантовой механике математическое ожидание квантового аналога этой величины в состоянии с определенной энергией. Покажем, что при таком сопоставлении в квантовой механике действительно будет иметь место соотношение, аналогичное теореме вириала классической механики.

где

причем  есть оператор кинетической энергии,  есть потенциальная энергия,  параметр энергии.

Мы ограничимся здесь случаем одной материальной точки. Тогда