;
функциялары орындалады және барлық тригонометриялық формулалар орындалады:
; и т.д.
Гиперболалық функциялар нақты аргументтің функциялары тәрізді анықталады:
;
.
Бұлар тригонометриялық функциялармен былай байланысады:
; ;
; ;
; ;
; ;
(өздерің тексеріңдер).
50. функциялары сәйкес , , , функцияларына кері функциялар ретінде анықталады, және де олардың бәрі де көп мәнді функциялар.
Дәлелдеңдер: , , , .
§14.2 Комплекс айнымалылы функцияның туындысы
Z облысының бір мәнді функциясын қарастырамыз.
Анықтама. Егер
(2)
ақырлы шегі бар болса, онда ол шек функциясының туындысы деп аталады және былай белгіленеді:
Бұл шек ∆ z -тің нөлге қалай ұмтылғанына тәуелсіз.
Анықтама. Z облысының нүктесінде үзіліссіз туындысы бар функциясы осы облыстың аналитикалық функциясы деп аталады.
Шектің қасиеттері негізінде туындының негізгі қасиеттері шығады.
Қасиеттері:
,
,
.
Егер күрделі функция түрінде берілсе, мұнда - комплекс айнымалы функция, және туындылары мен бар болса, онда мына формула орынды:
.
14.2.Функциялардың туындыларының кестесі. 1. , мұндағы n – бүтін сан. Туындысын табамыз, ол үшін функцияның өсімшесін анықтаймыз:
.
Сонда туынды мынаған тең:
Көрсеткіштік және тригонометриялық функцияларды қарастырамыз:
;
;
.
Бұл қатарлар z-ң кез келген мәндерінде жинақты, . Осының негізінде бұл қатарларды дифференциалдауға болады.
.
Оң бөлігі Маклорен қатарына дәл келеді ( -ң жіктелуі).)
.
Осы тәрізді қалған қатарларды да дифференциалдаймыз:
3.
; яғни .
4.
; яғни .
5. .
6. .
.
7.,
; , ,
(өздерің табыңдар).
14.2.2 Нөлге тең емес туындының геометриялық кескіні. Комплекс сандар жазықтығын және оның Z нүктесін қарастырамыз.
z+z
y
0 x
|
Z облысының басқа z+z нүктесін аламыз. w=f(z) – функциясы осы Z жазықтығын басқа бір W жазықтығына бейнелейді, яғни z нүктесін → w нүктесіне,
z+∆z нүктесін → w+∆w- нүктесіне көшіреді.
|
v
w+w
w W
0 u
|
Туындысын қарастырамыз:
.
Шектер туралы негізгі теоремалар бойынша:
|
ақырсыз аз шама.
; ;
- функция өсімшесінің бас мәні.
туындысын көрсеткіштік функция түрінде береміз:
f ′(z)=rei.
Бас мәнінің берілуінен мынаны аламыз:
w ≈ r∙ei(φ+).
Функцияның өсімшесінің аргументі сол және кейбір бұрышы, ал ол z-ң аргументі болып табылады: .
Анықтама. Егер Z облысының барлық нүктелерінде нөлден өзге үзіліссіз туындысы бар болса, онда бейнелеу конформдық деп аталады. Бұл бейнелеуде екі жатық қисық арасындағы бұрыш өзгермейді.
w=f(z) аналитикалық функциясы жәрдемімен орындалған бейнелеу конформдық болып табылады.
y
F2
F1
z
x
|
v
F2
F1
w
u
|
Достарыңызбен бөлісу: |
