Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ

Построения допустимого управления и оптимальной пары возможны только тогда, когда краевая задача (2)-(4) имеет решение.

Предлагается метод решения задач 1-3. Основой созданного метода является метод погружения, который следует из общего решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Применяя принцип погружения к краевым задачам оптимального управления, можно найти необходимые и достаточные условия существования решения. Оптимальное решение исходной краевой задачи оптимального управления строится путем сужения области допустимых управлении.

В итоге, 1) были найдены необходимые и достаточные условия существования решения задачи оптимального управления (1)-(4); 2) построены множества допустимых управлении, каждый элемент которого переводит траекторию системы из начальной точки в момент времени проходящее через точку в момент времени ; 3) найдены оптимальное управление и оптимальная траектория путем построения минимизирующей последовательности.

1. 
   Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981
   
2. 
   Моисеев Н.Н. Численные методы в тоерии оптимальных систем. – М.: Наука, 1971
   
3. 
   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979
   
4. 
   Айсагалиев С.А. Краевые задачи оптимального управления. – Алматы: Қазақ университеті, 1999
   
5. 
   Айсагалиев С.А., Айсагалиев Т.С. Методы решения краевых задач. – Алматы: Қазақ университеті, 2002
   

УДК 517.51

Южно Казахстанский Государственный Университет им. М. Ауезова, Шымкент

Главной характеристикой диффузии служит плотность диффузионного потока J - количество вещества, переносимого в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению переноса .

В данной работе проведена классификация постановки начально – краевых задач, основу которой составляют уравнения диффузии, численно решено уравнение диффузии по методу конечных разностей [2]. Составлены модификации программ решения одномерного уравнения диффузии, разработан интерфейс для ввода исходных данных и представления решения в виде графиков [3]. В отличие от [3], нами при применении разностной схемы предварительно проведено исследование устойчивости применяемой схемы по спектральному методу.

Если в среде, где отсутствуют градиенты температуры, давления, электрического потенциала и др., имеется градиент концентрации с(х, t), характеризующий ее изменение на единицу длины в направлении х (одномерный случай) в момент времени t, то в изотропной покоящейся среде диффузионный поток вычисляется по формуле:

где D - коэффициент диффузии (м²/с); знак "минус" указывает на направление потока от больших концентраций к меньшим. Пространственно-временное распределение концентрации моделируется уравнением:

Уравнения (1) и (2) называются первым и вторым законами Фика. Трехмерная диффузия [с (х, у, z; t)] описывается уравнениями:

J = -D grad c (3)

(4)

где J - вектор плотности диффузионного потока, grad - градиент поля концентрации. Перенос частиц в среде осуществляется как последовательность их случайных перемещений, причем абсолютная величина и направление каждого из них не зависят от предыдущих. Диффузионное движение в среде каждой частицы обычно характеризуют среднеквадратичным смещением L² от исходного положения за время t. Для трехмерного пространства справедливо первое соотношение Эйнштейна: L² = GDt. Таким образом, параметр D характеризует эффективность воздействия среды на частицы.

Математически законы Фика аналогичны уравнениям теплопроводности Фурье. В основе такой аналогии лежат общие закономерности необратимых процессов перераспределения интенсивных параметров состояния (концентрации, температуры, давления и др.) между различными частями какой-либо системы при стремлении ее к термодинамическому равновесию.

Однородное дифференциальное уравнение диффузии запищем в виде

(5)

начальное условие:

(6)

Граничные условия:

(7)

(8)

Начально-краевая задача (5-8) решается методом разложения в ряд Фурье [2].

Значение концентрации представляем в виде ряда:

(9)

где,

(11)

а, тое решение уравнения

(12)

В программе предусмотрен ввод:

L— длина области решения по х; b— постоянная;D— коеффициент диффузии;— начальная концентрация;N— количество членов ряда (9);h—коеффициент граничного условия;

Результатом программы является:а)скорость изменения концентрации по времени ;

б) правая часть уравнения (5); в) значение граничной функции (8); г) график (рис.1); д) график ;