Информационное письмо

Дадим геометрическую интерпретацию автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Правильнее назвать такую интерпретацию кинематической, так как здесь каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Определим автономную систему.

Система ОДУ называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное . Если , – есть решение некоторой автономной системы, то , , где – константа, также есть решение той же автономной системы.

Каждому решению автономной системы приведем в соответствие движение точки в -мерном пространстве, задаваемом уравнениями , где – координаты точки в пространстве, а – время. В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую – траекторию движения.

Поскольку автономная система определена на открытом множестве Δ, каждой точке множества Δ поставлена в соответствие последовательность из чисел:

.

Эти числа можно расставить как компоненты вектора из -мерного пространства, выходящего из . Т.о. автономной системе ставится в соответствие векторное поле, заданное на множестве Δ. Пространство размерности , в котором интерпретируется решение данной автономной системы в виде траектории и сама система в виде векторного поля, называется фазовым пространством данной автономной системы. Траектории называются фазовыми траекториями, векторы – фазовыми скоростями.

Чтобы построить траектории системы

,

(1)

на фазовой плоскости , , можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порядка

Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнениями (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин, при этом необходимо исследовать особые точки системы.

Для построения траекторий уравнения на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе , , которая исследуется так же, как система (1).

Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при или при . Предельный цикл называется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при , неустойчивым — если только при , полуустойчивым — если с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при , а с другой стороны при .