ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

12 
ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА-МОРРИ 
Буренков В.И.
1
, Lanza de Cristoforis M.
2
, Кыдырмина Н.А.
3 
1
Евразийский университет имени Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан,
2
Dipartimento di Matematica, University of 
Padova, Padova, Italy, 
3
РГКП «Институт прикладной математики» КН МОН РК, Караганда, Казахстан 
E-mail: burenkov@cf.ac.kf,  mldc@math.unipd.it, nurgul-k@mail.ru 
 
Определение 1. 1Пусть    - измеримое по Лебегу  подмножество 
ℝ , 1 ≤ ≤ +∞, 0 ≤ ≤  и 
( ) =
,
∈]0,1],
1,
≥ 1.
  Через 
(Ω)  обозначим  пространство  всех  действительнозначных, 
измеримых на   функций, для которых  
 
‖ ‖
( )
= sup
∈
( )‖ ‖
( ( , )∩ )
( , )
< ∞, 
где 
( , ) – открытый шар радиуса  > 0 с центром в точке  ∈ ℝ . 
Определение 2. Пусть 
⊂ ℝ  - открытое множество,  ∈ ℕ,  ∈ [1, +∞] и 0 ≤ ≤ . Тогда мы 
определим пространство Соболева порядка  , построенное на основе пространства Морри 
( ), как 
множество  
 
,
(Ω) ≡
∈
(Ω):
∈
(Ω) ∀  ∈ ℕ , | | ≤ , 
где 
 - обобщенная производная функции  . 
В частности, 
,
(Ω) =
(Ω) и 
,
(Ω) =
(Ω), где 
(Ω) - это классическое пространство 
Соболева с показателями 
,  в  .  
Определение 3. 2Пусть 
∈ [1, +∞],  , ∈ ℕ\{0},  ∈ ℕ,  < ,   , ∈ [0, +∞[ и  + −
− <
. Тогда положим  
 
∗
≡
∗
( , , , , , ) =
(
)
. 
Если 
= = 0, тогда 
∗
 совпадает с классическим предельным показателем Соболева 
(
)
. 
Если 
, ∈ [0, +∞[, тогда показатель 
∗
 может быть получен из классического заменой   на 
+  и   
на 
+ .   
Теперь сформулируем аналог теоремы вложения Соболева. 
Теорема. 3Пусть 
∈]1, +∞[,  , ∈ ℕ\{0},  ∈ ℕ,  < , 0 ≤ ≤  и   - открытое ограниченное 
подмножество 
ℝ , удовлетворяющее условию конуса. Тогда имеют место следующие утверждения:   
1)  Пусть 
−
+ < , 
∈ [ , ( − ) + ].  Тогда 
,
(Ω)  непрерывно  вложено  в 
∗
( , , , , , )
,
(Ω). 
2) Пусть 
−
+ > . Тогда 
,
(Ω) непрерывно вложено в 
(Ω). 
Отметим, что условие 
−
+ <  эквивалентно условию  <
∗
 . 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1 Burenkov V.I., Guliyev H.V.  
Necessary and sufficient conditions for boundedness of the maximal operator in the 
local Morrey-type spaces
 // Studia Math. – 2004. - № 163 (2). – С. 157-176. 
2 Burenkov. V.I., Jain P., Tararykova T.V. 
On boundedness of the Hardy operator in Morrey-type spaces
 // 
Eurasian Mathematical Journal. – 2011. - № 2 (1). – С. 52-80.
   
 
 
СВЕРТКИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДВУКРАТНОГО 
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА ОТРЕЗКЕ 
Нурахметов Д.Б. 
Казахский агротехнический университет имени С. Сейфуллина 
E-mail: dauletkaznu@gmail.com 
 
В работе [1] исследованы биортогональные и базисные свойства следующей нелокальной задачи  
   
− ( ) = ( ), 0 < < 1,   (0) = (1), (1) = 0.
  
                                    (1) 
Для удобства оператор соответствующий задаче (1) обозначим через L. 
В данной работе для оператора L в 
(0,1)
 введем свертку по формуле: 

13 
(g ∗ f)(x) = 2 f(t)
g(1 − θ + x)dθ dt +
f(t)
g(θ + x)dθ dt +
 
+
f(t)
g(2 − x − θ)dθ dt +
f(t)
g(x − θ)dθ dt +
 
+ f(t)
g(x − θ)dθ dt −
f(t)
g(θ − x)dθ dt +
 
+ f(t)
g(θ − x)dθ dt +
f(t)
g(θ − x)dθ dt,
 
где 
( ) =
√ (
)
√
.     
Теорема. a) Введенная  свертка  при  любых 
, ∈
(0,1)
  билинейна,  коммутативна  и 
ассоциативна; 
b) Резольвента оператора L имеет сверточное представление 
( − )
= ∗
. 
c)  Свертка  функций    и    принадлежит  области  определения  оператора L, если 
∈ ( )
, 
причем справедливо равенство 
( ∗ ) =
∗
. 
d)  Свертка,  порождаемая  оператором L, без  аннуляторов,  то  есть  если  при  всех 
∈
(0,1)
 
справедливо
 ∗ = 0
, то  
= 0
. 
Заметим, что метод работы идейно близок к методам работ [2]-[5]. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Н.И. Ионкин, Е.А. Валиева, 
О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической 
краевой задачи
. Матем. моделирование, 1996, 
 Т.8,  
№ 1,  С. 53-63 
2.
 
Б.Е.  Кангужин,  С.Н.  Гани, 
Свертки,  порождаемые  дифференциальными  операторами  на  отрезке. 
Известия НАН РК. Серия физ.-мат. 2004, №1, с.29-33. 
3.
 
Б.Е.  Кангужин,  Д.Б.  Нурахметов, 
Нелокальные  внутренне  краевые  задачи  дифференциальных 
операторов и некоторые конструкции, связанные с ними
. Математический журнал. 2012, Т.12, №3(45), С.92-
100. 
4.
 
B. Kanguzhin, N. Tokmagambetov, 
The Fourier transform and convolutions generated by a differential 
operator with boundary condition on a segment
. Trends in Mathematics. 2013. P.235-251. 
5.
 
B. Kanguzhin, N. Tokmagambetov and K. Tulenov, 
Pseudo-differential operators generated by a non-local 
boundary value problem. Complex Variables and Elliptic Equations
, 2014, 
http://dx.doi.org/10.1080/17476933.2014.896351. 
 
 
ОПЕРАТОРЛЫҚ  ҚАТАРЛАРДЫҢ ЖИНАҚТАЛУ БЕЛГІЛЕРІ 
Шегебаева Г., Ақышев Ғ. 
Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті, Қарағанды, Қазақстан 
E-mail:
 
goha.jez@mail.ru 
 
E
-  Банах  кеңістігі  берілсін, 
E

  оның  нормасы  болсын  жəне 
)
,
(
E
E
L
-  үзіліссіз  сызықты 
операторларының 
E
E
A

:
  кеңістігі  болсын, 
E
x
E
E
L
Ax
A
E
1
)
,
(
sup


  оның  нормасы  болсын 
([1]). 
В.Е. Слюсарчук [2] берілген 
N
n
E
E
L
A
n


),
,
(
 операторлары үшін  
                                                                              


1
n
n
A
                                                                   (1) 
операторлық қатарын қарастырды.Егер 
)
,
(
E
E
L
S

операторы үшін келесі  
 

14 
0
lim
)
,
(
1






E
E
L
n
k
k
n
A
S
 
теңдік орындалса, онда операторлық қатар (1) жинақталады деп атайды ([2]). 
Операторлық қатардың жинақталу белгілерін В.Е. Слюсарчук [2] дəлелдеді. Ол сандық қатарлар 
үшін белгілі Абель, Дирихле белгілерін операторлық қатарға дəлелдеді. 
Абель,  Дирихле  белгілері 
QMS
-  квазимонотонды  сандық  тізбектер  үшін  дұрыс  болмайтыны 
белгілі ([3]). 
Баяндамада осы тұжырымдардың операторлық қатар үшін жалпы түрлері ұсынылады. 
Анықтама. ([4]) 
 

0
n
n
a
  сандық тізбегі берілсін,    
1

m
  болғанда келесі теңсіздік: 
m
m
n
n
n
Сa
a
a





1
 
орындалса, (мұндағы 
0

С
) 
 

0
n
n
a
   тізбегі 
RBVS
класында жатады деп айтады. 
Теорема 1.
N
n
E
E
L
A
n


),
,
(
.  Егер 
 
RBVS
a
n

жəне 


1
n
n
A
  жинақты  болса,  онда 
операторлық қатар 


1
n
n
n
A
a
  жинақты болады.  
Теорема 2. 
 
QMS
a
n

тізбек  табылып, 
 
)
,
( E
E
L
b
n

  операторлар  тізбегі  үшін 



n
k
k
n
b
B
1
 
шенелген тізбек болса, онда 


1
n
n
n
b
a
жинақсыз болады. 
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.
 
Садовничий В.А. 
Теория операторов
: Учеб. для вузов.- 4- е изд., испр. и доп.- М.: Дрофа, 2001.-384 с.                 
2.
 
Слюсарчук В.Е. 
Операторный аналог признака Бертрана
// Мат. Студіі.- 2011.- Т. 35, № 2, 181-195 с.     
3.
 
R.J. Le and H.R
. Zhang A Remark on the Abel’s and Dirichlet’s criterions concerning generalizations to 
monotonicity
,  Acta Math. Hungar., 2010, 129 (1-2), p.153- 159. 
4.
 
Leindler L. 
A new class of numerical sequences and its applications to sine and cosine series
 //Analysis 
Mathematica.2002, Vol. 28, p.279-286. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

15 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖƏНЕ ОЛАРДЫҢ ҚОСЫМШАЛАРЫ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 
DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR EXHIBITS 
 
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПЯТИМЕРНОГО ОБОБЩЕНИЯ  СИСТЕМЫ   
КОШИ-РИМАНА 
Абдуахитова Г.Е., Токибетов Ж.А.  
Казахский  национальный  университет  имени  аль-Фараби,  Алматы,  Казахстан 
E-mail: gulzhan_ae@mail.ru 
 
Пусть 
4
3
2
1
4
3
2
1
,
kb
jb
ib
b
b
kb
jb
ib
b
b








 
кватернионное  и  сопряженное 
кватернионное  постоянные  числа,  а  
,
4
3
2
1
x
x
x
x
k
j
i









 
4
3
2
1
x
x
x
x
k
j
i









 
кватернионные 
дифференцирования, 
)
4
,
3
,
2
,
1
(

l
b
l
 
- 
действительные 
постоянные, 


1
2
4
2
3
2
2
2
1





b
b
b
b

, 
k
j
i ,
,
-  кватернионные    единицы.  В    пространстве 
5
R
        рассмотрим  
систему  уравнений    первого    порядка,  относительно  двух  кватернионных  функций 
,
4
3
2
1
ku
ju
iu
u
U




8
7
6
5
ku
ju
iu
u
V




, 


















.
0
,
0
5
5
x
V
U
b
V
b
x
U

                                                                (1) 
Введем  кватернионную  гармоническую  функцию 
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
3
2
1
x
k
x
j
x
i
x
x









 
тогда решение системы (1) имеет следующее представление   
8
,
7
,
6
,
5
),
,
(
,
4
,
3
,
2
,
1
,
5






m
M
B
u
l
x
u
m
m
m
l
l


                             (2) 
Здесь 
    
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
),
,
,
,
(
1
2
3
4
8
4
3
2
1
8
2
1
4
3
7
4
3
2
1
7
3
4
1
2
6
4
3
2
1
6
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
m
m
m
m
M
b
b
b
b
B
m
m
m
m
M
b
b
b
b
B
m
m
m
m
M
b
b
b
b
B
m
m
m
m
M
b
b
b
b
B















 
.
,
,
,
4
1
3
2
2
3
1
4
4
4
2
3
1
2
4
1
3
3
4
3
3
4
2
1
1
2
2
4
4
3
3
2
2
1
1
1
x
x
x
x
m
x
x
x
x
m
x
x
x
x
m
x
x
x
x
m
































































 
С помощью представления (2)  задача Римана-Гильберта о нахождении регулярного   решения  
системы (1)   сводится  к  задаче  о  наклонной  производной  для  гармонических 
функции
.
4
,
3
,
2
,
1
),
(

l
x
l

Таким  образом,  задача  о  нахождении  в  полупространстве 
0
5

x
 
гармонической 
функции 
4
,
3
,
2
,
1
),
(

l
x
l

 
удовлетворяющей 
на 
границе 
условию 
4
,
3
,
2
,
1
,
5




l
f
x
l
l

 
имеет  решение  при  предположении 
4
,
3
,
2
,
1
),
(

l
x
l

  стремятся    к 
нулю в бесконечности, и это решение находится явно по формуле 
.
4
,
3
,
2
,
1
,
)
(
)
(
2
1
)
(
4
1
2
5
2
4
3
2
1

















l
x
y
x
dy
dy
dy
dy
y
f
x
i
i
i
l
l


 

16 
и по формуле  (2) находим единственное решение задачи. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1
. 
Усс  А.Т. 
О  краевых    задачах    для    четырехмерных    аналогов  систем  Коши-Римана  с    комплексными  
коэффициентами
 // Гомельский  госуниверситет, Гомель.–2001. - Вестник - №1.
 
 
 
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ 
ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПЕРВОГО РОДАФАЗОВЫХ СИСТЕМ 
Абдилдаева А.А., Калимолдаев М.Н., Токаш А.  
Институт информационных и вычислительных технологий, Алматы, Казахстан 
E-mail: mnk@ipic.kz, aidyn_inf@mail.ru, abass_81@mail.ru 
 
Рассмотрим решение задачи о нахождении необходимыхи достаточных условий существования 
предельных циклов первого рода для системы 
,
)
(
.




B
Ax
x


 
),
(



R
Cx



 
 
 
     (1 ) 
где 

R
C
B
A
,
,
,
  постоянные  матрицы  порядков 
m
m
n
m
m
n
n
n




,
,
,
    соответственно,  функция 
,  причем 
   
 
(2) 
 
 
 
(3) 
Решение  задачи  может  быть  получено  путем  погружения  исходной  в  следующую  задачу: 
минимизировать функционал 
,                  
 
        (4) 
при условиях  
   
 
  (5) 
   
 
  (6) 
 
 
 
   (7) 
В 
самом 
деле, 
если 
для 
оптимального 
решения 
(
) 
задачи  
(4)-(7)  значение  J(
)=0,  то 
.  Оптимальные  траектории 
 являются решениями дифференциальных уравнений  
 
 
        (8) 
 
 
       (9) 
причем 
, 
,  
  в  силу 
автономности  системы (8), (9).Сравнивая  дифференциальные  уравнения (8),(9) с  уравнением (1), 
легко  убедиться  в  том,  что 
, 
, 
 – 
предельные циклы первого рода системы (1)-(3). Заметим, что inf 
. 
Теперь рассмотрим в отдельности краевую задачу (5), т.е. 
.  
 
(10) 
Применительно к краевой задаче (10) лемма  может быть сформулирована в следующем виде.  
Теорема.  Пусть rang [B, AB, …, A
n-1
B] = n.  Для  того,  чтобы 
необходимо  и 
достаточно, чтобы  
,     
 (11) 
где 
 
,
, 
произвольная  функция,  функция
 – решение  дифференциального 
уравнения  
. 
Отметим, что условие  rang[B, AB, …, A
n-1
B]=n  является необходимым и достаточным условием 
того,  что  матрица  W(0,T) – положительно  определенная.  Следовательно,  существует  обратная 

17 
матрица W
-1
(0,T), множество 
 решение  дифференциального  уравнения (10), соответствующее  
управлению (11), запишется так:  
,            
 
      (12) 
где  
 , 
. Заметим, что 
. 
Таким образом, множество всех управлений, для которых 
. Определяется по 
формуле (11), соответствующее решение системы (10) имеет вид (12). 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: