Лекция 12. Определенный интеграл

Вычисление площадей плоских фигур

• По геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси ОХ равна соответствующему определенному интегралу :

• x

• y

• 0

• a

• b

• S

• (1)

• Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то ее площадь может быть найдена по формуле:

• x

• y

• 0

• a

• b

• S

• (2)

• Формулы (1) и (2) можно объединить в одну для случая, когда функция f(x) сохраняет знак на [a; b]

• Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), прямыми x = a, x = b при условии
• находится по формуле:

• Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси OY, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.

• x

• y

• 0

• a

• b

• S

• f1(x)

• f2(x)

• x

• y

• 0

• a

• b

• S1

• S2

• S3

• S4

• Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически, прямыми x = a, x = b и осью OX:

Пример.

• Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OX, и графиком функции:

• x

• y

• 0

• 2

• 3

• S1

• S2

Вычисление длины дуги плоской кривой

• Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме:

• то длина дуги кривой находится по формуле:

• Если кривая AB задана в полярных координатах:

• то длина дуги кривой находится по формуле:

Пример.

• Вычислить длину дуги окружности, заданной уравнением:

• от точки А(2; 0) до точки

• x

• y

• 0

• 2

• А

• В

• Найдем как изменяется параметр t при переходе от точки А к точке В:

Вычисление объема тела вращения

• Пусть вокруг оси OX вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f(x) > 0, отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b. .

• x

• y

• 0

• а

• b

• Полученная при вращении фигура называется телом вращения.

• Объем полученного тела вычисляется по формуле:

• Если криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции x = q(y) > 0, прямыми y = c, y = d и осью OY, то объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY равен:

Пример.

• Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

• x

• y

• 0

• 4

• вокруг оси OY.

Несобственный интеграл

• Определенный интеграл

• Так называемые несобственные интегралы бывают двух видов:

• Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

• где промежуток интегрирования

• [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.

• Определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл 2 рода)

Несобственный интеграл 1 рода

• Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке

• то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают:

• Если существует конечный предел

• В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

• Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

• Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

• Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

• В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

• Если непрерывная функция на промежутке и
• несобственный интеграл

• сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции:

• x

• y

• 0

• a

Примеры.

• Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

• Интеграл расходится

• Интеграл расходится, так как такой предел не существует

Несобственный интеграл 2 рода

• Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке

• то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают:

• Если существует конечный предел

• Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то:

• и имеет бесконечный разрыв при x = b

• В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

• Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

• Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка
• [a; b] , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

• В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

• В случае, когда f(x) > 0, и имеет бесконечный разрыв в точке b, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции:

• x

• y

• 0

• a

• b

Пример.

• Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

• Интеграл расходится

жүктеу/скачать 0,89 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: