Математикадан аудандық олимпиада есептерін шешу
жүктеу/скачать 131,06 Kb.
|
Математикадан аудандық олимпиада есептерін шешу жолдары
1-сабақ, Комбинаторика, Анель Таженова, Дип.-Ароматик-аминдер, ÐÐÐ1
- Бұл бет үшін навигация:
- 11-сынып математика І тур 1-есеп. f(x)=cos2x+sin x функциясының мәндер облысын табыңыз. Функцияның ең кіші және ең үлкен мәндерін табамыз. Шешуі
| 3-ші шешу әдісі:
Туынды көмегімен f'(x)=(4x3+12x)(x3+x)-(x4+6x2+1)(3x2+1)(x3+x)2=0 Осы теңдеуді түрлендіріп оған мәндес x6-3x4+3x2-1=0 теңдеуін аламыз. (x2-1)3=0 Теңдеудің шешімі x=±1. x=-1 максимум нүктесі, ал x=1 минимум нүктесі Есептің шарты бойынша (0; +∞) аралығындағы ең кіші мәнін табу керек. f(1)=14+6∙12+113+1=4. Жауабы: 4 6-есеп. 8×8 шахмат тақтасында барлық қара шаршы таңдалып алынатындай және әрбір жол мен әрбір бағаннан дәл 7 шаршыдан таңдалып алынатындай 56 әр түрлі шаршыны қанша тәсілмен таңдап алуға болады?
Шешуі: Таңдалмайтын ақ шаршыны іріктеп алайық. Әрбір жолмен әрбір бағанда 4 ақ шаршы бар екені белгілі. Әрбір жолдан және әрбір бағаннан 1 ден артық ақ шаршы алып тасталынбайды. 1-ші жолда ақ түсті шаршыны алып тастау мүмкіндігі 4-ке тең. 2-ші жолдан алып тасталынатын ақ шаршы, 1-ші жолдан алып тасталған ақ шаршы бағанында болмауы керек. 2-ші жолда мұндай мүмкіндік саны–4. 3-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 3 тең болады. Себебі 1-ші жолда алынған бір бағанға кеміді. 4-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 3 тең болады. Себебі 2-ші жолда алынған бір бағанға кеміді. 5-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 2 тең болады. Себебі 1-ші және 3-ші жолдардағы 2 бағанға кеміді. 6-шы жолда әртүрлі мүмкіндік саны 2 тең болады. Себебі 2-ші және 4-ші жолдардағы 2 бағанға кеміді. 7-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 1 тең болады. Себебі 1-ші, 3-ші және 5-ші жолдардағы 3 бағанға кеміді. 8-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 1 тең болады. Себебі 2-ші, 4-ші және 6-шы жолдардағы 3 бағанға кеміді. Сонымен жалпы мүмкіндіктер саны 4∙4∙3∙3∙2∙2∙1∙1=576 Жауабы: 576 11-сынып математика І тур 1-есеп. f(x)=cos2x+sin x функциясының мәндер облысын табыңыз. Функцияның ең кіші және ең үлкен мәндерін табамыз. Шешуі: f'(x)=-2cosxsinx+cosx=cosx(1-2sinx) cosx(1-2sinx)=0 cosx=0 бұдан x=π2+πn, nϵZ 1-2sinx=0 бұдан x=(-1)kπ6+πk, kϵZ Демек ең кіші мәні: f(-π2)=0-1=-1 Ал ең үлкен мәні: f(π6)=34+12=54 Жауабы: D(f(x))=[-1;54] 2-есеп. ABC үшбұрышында M нүктесі - BC қабырғасының ортасы. BE∥AM және BE=12AM болатындай, ABC үшбұрышының сыртында BCDE параллелограммы салынған. EM түзуі AD кесіндісін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз. Дәлелдеу: АМ кесіндісін ED кесіндісіне дейін созайық. AM∩ED=N болсын. MN||BE||CD болғандықтан N нүктесі ED қабырғасының ортасы екендігі белгілі. Демек AN кесіндісі AED үшбұрышының медианасы. BCDE параллелограмм болғандықтан, AN=BE=12AM. AM:MN=2:1 Бұдан M нүктесі AED үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі. Осыдан EF AED үшбұрышының AD қабырғасына жүргізілген медианаcы. Демек EM∩AD= F нүктесі AD кесіндісін қақ ортадан бөледі. 3-есеп. n - натурал сан болсын. 22n+22n-1+1 санының кем дегенде n әр түрлі жай бөлгіші болатынын дәлелдеңіз. Шешуі: a2-b2=(a-b)(a+b) Формуласы көмегімен көбейткіштерге жіктейміз. a4+a2+1=a4+2a2+1-a2=(a2+1)2-a2=(a2-a+1)(a2+a+1) a8+a4+1=a8+2a4+1-a4=(a4+1)2-a4=(a4-a2+1)(a4+a2+1) a16+a8+1=a16+2a8+1-a8=(a8+1)2-a8=(a8-a4+1)(a8+a4+1) Тағы солай жалғастыра берсек. Жалпы жағдайда 22n+22n-1+1=(22n-1-22n-2+1)(22n-1+22n-2+1) Берілген өрнекті көбейткіштерге жіктейміз. 22n+22n-1+1=k=1n-1(22n-k-22n-k-1+1)∙(22+2+1)=k=1n-1(22n-k-22n-k-1+1)∙7 Енді n>k үшін x=22n+22n-1+1 және y=22k+22k-1+1 өзара жай сандар екенін дәлелдейміз. ЕҮОБ(22n+22n-1+1, 22k+22k-1+1)=ЕҮОБ(22n, 22k-22k-1+1+22n-1-1)= ЕҮОБ(22n, 22k-22k-1+22n-1) x пен y тақ сандар, соңғы алған сандарды 22k-1 дәрежеге қысқартамыз. ЕҮОБ(22n-2k-1, 22k-1+22n-1-2k-1-1)=1 Себебі: 22n-2k-1 екінің дәрежесі, ал 22k-1+22n-1-2k-1-1 тақ сан. Демек көбейткіштердің бәрі өзара жай сандар. Енді 7 саны мен сол көбейткіштердің өзара жай болатынын көрсетеміз. 22n-k-22n-k-1+1>1 және ЕҮОБ(22k-22k-1+1, 7)=1 екені көрініп тұр. 22k-22k-1+1=22k-1(22k-1-1)+1: 2∙1+1=3 4∙3+1=13 8∙7+1=57 16∙15+1=241 … . 4-есеп. Қабырғаларының ұзындықтары натурал сан және периметрі 40 болатын, әр түрлі доғалбұрышты үшбұрыштардың санын табыңыз. Шешуі: Мейлі z үлкен қабырғасы болсын. α>90o, cosα<0. x,y,z∈N x+y+z=40 z2>x2+y2 z Бұдан z≤19 және z≥17 екендігі шығады. z=17
x және y симметриялы болғандықтан екіге көбейтеміз. Демек z=17 болғанда үшбұрыштар саны 3∙2=6 z=18
Демек z=18 болғанда үшбұрыштар саны 7∙2=14 z=19
Демек z=19 болғанда үшбұрыштар саны 8∙2=16 Жауабы: 6+14+16=36 5-есеп. 2x2+2x+3+2x2+2=3x2+2x-1+x2+6 теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз. Шешуі: Екі жағында екі рет квадраттау нәтижесінде x4+2x3-7x2-8x+12=0 теңдеуін аламыз. x=1 болғанда тура теңдікке айналатыны көрініп тұр. Онда Безу теоремасы бойынша x4+2x3-7x2-8x+12 көпмүшесін x-1 ге бөлеміз. x4+2x3-7x2-8x+12=(x-1)(x3+3x2-4x-12) Безу теормасы бойынша x3+3x2-4x-12 көпмүшесін x+3 екімүшеге бөлеміз. x3+3x2-4x-12=(x+3)(x2-4) . Көбейткіштерге жіктелді. x4+2x3-7x2-8x+12=(x-1)(x+3)(x-2)(x+2) x=1, x=-3, x=-2, x=-2 Бастапқы иррационал теңдеуге қойып тексереміз. Жауабы: 1,–3,2,–2
6-есеп. 8×8 шахмат тақтасында барлық қара шаршы таңдалып алынатындай және әрбір жол мен әрбір бағаннан дәл 7 шаршыдан таңдалып алынатындай 56 әр түрлі шаршыны қанша тәсілмен таңдап алуға болады? Шешуі: Таңдалмайтын ақ шаршыны іріктеп алайық. Әрбір жолмен әрбір бағанда 4 ақ шаршы бар екені белгілі. Әрбір жолдан және әрбір бағаннан 1 ден артық ақ шаршы алып тасталынбайды. 1-ші жолда ақ түсті шаршыны алып тастау мүмкіндігі 4-ке тең. 2-ші жолдан алып тасталынатын ақ шаршы, 1-ші жолдан алып тасталған ақ шаршы бағанында болмауы керек. 2-ші жолда мұндай мүмкіндік саны–4. 3-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 3 тең болады. Себебі 1-ші жолда алынған бір бағанға кеміді. 4-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 3 тең болады. Себебі 2-ші жолда алынған бір бағанға кеміді. 5-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 2 тең болады. Себебі 1-ші және 3-ші жолдардағы 2 бағанға кеміді. 6-шы жолда әртүрлі мүмкіндік саны 2 тең болады. Себебі 2-ші және 4-ші жолдардағы 2 бағанға кеміді. 7-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 1 тең болады. Себебі 1-ші, 3-ші және 5-ші жолдардағы 3 бағанға кеміді. 8-ші жолда әртүрлі мүмкіндік саны 1 тең болады. Себебі 2-ші, 4-ші және 6-шы жолдардағы 3 бағанға кеміді. Сонымен жалпы мүмкіндіктер саны 4∙4∙3∙3∙2∙2∙1∙1=576 Жауабы: 576. №126 мамандандырылған лицейінің математика пәні мұғалімдері 16.01.2015 жүктеу/скачать 131,06 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|