2. Иррационал теңдеуді жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу. 4-м ы с а л. теңдеудің түбірлерін табайық.
Ш е ш у і. Ол үшін деп белгілейік, сонда болады.
Осыны ескерсек, берілген иррационал теңдеудің орнына теңдеуін аламыз. Шыққан бөлшек-рационал теңдеуді бүтін теңдеуге келтіреміз: , түбірлері . Сонда және .
иррационал теңдеуін аламыз. Енді шыққан иррационал теңдеулерінің түбірлерін анықтаймыз.
1) теңдеуінің екі жақ бөлігін екінші дәрежеге шығарамыз: немесе .
2) теңдеуінің екі жақ бөлігін екінші дәрежеге шығарамыз: немесе
Түбірлердің теңдеуді қанағаттандыратынын тексерейік.
үшін
түбірі берілген иррационал теңдеуді қанағаттандырады.
үшін
мәні де берілген иррационал теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы: 1) 2)
5-м ы с а л. теңдеуін шешейік.
Ш е ш у і. Берілген иррационал теңдеуді жаңа белгісіз енгізу арқылы шығарамыз. деп алсақ, онда шығады. Берілген теңдеумен жаңа белгісіз енгізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріледі, яғни . Бұл теңдеудің түбірлері: . Сонда
және иррационал теңдеулерін аламыз. Енді алынған теңдеулерді шешейік:
1) теңдеуін шешу үшін оның екі жақ бөлігін бесінші дәрежеге шығарамыз: , бұдан немесе ;
2) теңдеуін шешу үшін оның екі жақ бөлігін бесінші дәрежеге шығарамыз: , бұдан немес е. Шешімдерді тексерсек, және берілген теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы:1;34.
Шешімдері көрсетілген барлық есептерде түбілердің теңдеуді қанағаттандыратынын тексердік. Иррационал теңдеулердің түбірлерін табудан бұрын түбірлері болатын жиын анықталса, онда анықталған жиынға ғана тиісті түбірлерді тексерген жеткілікті, ал тиісті емес түбірлер бөгде түбір болады. Осыған мысал қарастырайық.
6-м ы с а л. теңдеуін шешейік.
Ш е ш у і. Алдымен, берілген теңдеудің шешімдері болатын жиынды анықтайық. Теңдеудегі радикалдардың әрқайсысы квадрат түбірлер болғандықтан, келесі теңсіздіктер жүйесін аламыз:
немесе
, , .
Әрбір теңсіздіктің шешімдер жиынын жеке координаталық түзуге белгілеп, олардың ортақ аралығын анықтайық (14-сурет). Демек, х айнымалысының мүмкін болатын мәндер жиыны аралығы.
Сонымен, берілген иррационал теңдеудің түбірлері аралығынан болуы тиіс. Енді берілген
теңдеуін шешеміз. Ол үшін теңдеудің екі жағын квадраттаймыз: , бұдан немесе аламыз. Соңғы теңдеуді тағы да квадраттаймыз. Сонда немесе , ал түбірлері - .
түбірі берілген теңдеудің шешімі болатын жиынға тиісті. Демек, бұл түбір үшін тексеру жүргізсек, оның теңдеуі қанағаттандыратынын көреміз.
Екінші түбір теңдеудің шешімі болатын жиынға, яғни жиынына тиісті болмағандықтан, тексеру жүргізбей оны бөгде түбір деп айта аламыз.
Жауабы: 4
