ОҚулық Екінші басылым. Өңделген Алматы, 2012 2 Əож 53 (075. 8) Кбж 22. 3 я 73 Т90

151 
бе, əлде    қирау кезеңі ме) шешуші болып табылатынын анықтап ал-
ған нан кейін, беріктік шарты тұжырымдалады.
 Бұл мəселелерді материалдардың беріктігінің, бас кернеулердің 
таңбалары мен шамаларынан тəуелділігі туралы жəне қауіпті күйді 
тудыратын  əрекеттер  туралы  жорамалдар  (гипотезалар)  арқылы 
шешуге болады.
§2. Беріктік жорамалдары (гипотезалар)
Беріктік жорамалдарына кіріспей тұрып, айта кететін екі ескертпе 
бар. Олар:                                
1) жоғарыда айтылып кеткен қирау кезеңі туралы мəселенің басын 
ашып алу қажет. Өйткені, “қирау” мəнін екі түрлі түсінуге болады: 
материал  қирады  ма,  əлде,  конструкция  қирады  ма.  Конструкция 
қирады  дегеніміз,  ол  өзінің  ерекшелігін  жоғалтып,  қойылған 
талапты  орындаудан  қалды  деген  сөз.  Ал,  көзге  көрінбейтін,  бірақ 
салыстырмалы түрде айтқанда, белгілі бір мөлшерде үлкен сызаттар 
мен  жарықшалардың  материалда  пайда  болуы,  конструкцияны 
қирауға əкеп соқпайтын да кездер болады. Бұл кезде, конструкцияның 
сенімділігі туралы мəселе қаралу керек.
2)  материалдардың  қауіпті  күйі  Гук  заңының  қолданылу 
шекарасында  жатқандықтан,  бұл  тарауда  Гук  заңы  қолданылып 
алынған формулалар пайдаланылады. 
А. Бірінші жорамал. Қираудың негізгі себебі, материалда пайда 
болатын созу кернеуінің ең үлкен мəніне байланысты екені туралы 
жорамал XVII ғасырдан  бастау  алады.  Бұл  жорамалды  кейіннен 
Ламе (1833 ж.)  жəне  Рэнкин (1856 ж.)  қолдады.  Қазіргі  кезде  бұл 
жорамал, ең үлкен тік кернеулер теориясы немесе бірінші беріктік 
теориясы деп аталады.
Егер,  σ
1
>σ
2
>σ
3
  болса, онда ең үлкен созылу кернеуі  σ
max  
> σ
1
. 
Сондықтан, беріктік шарты 
                
                       σ
1 
= [σ]
сз 
                                                (9.1)
Бұл жердегі [σ]
сз 
 - созылудағы мүмкін кернеу.
Ə.  Екінші  жорамал.  Материалдардың  қирауының  себебі  ең 
үлкен  созылу  кернеуі  емес,  қираудың  негізгі  себебі - ең  үлкен 

152
салыстырмалы  ұзару  деген  жорамалды  Мариоттың 1686 жылғы, 
Навьенің  1826 жылғы,  Сен-Венанның 1837 жылғы,  Понселенің 
1839  жылғы  еңбектерінен  кездестіруге  болады.  Бұл  жорамал  ең 
үлкен ұзару теориясы немесе екінші беріктік теория деп аталады.                                 
Гук заңы бойынша  
(
)
max
1
1
2
3
1
E
ε
ε
σ
μ σ
σ
= =
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
,
ал қарапайым созылу жағдайында
max
max
E
σ
ε
=
.
Бұл екі өрнектен, қирау кезеңіндегi кернеуді табамыз
(
)
max
1
2
3
σ
σ
μ σ
σ
=
−
+
.
Бұл кездегі беріктік шарты:              
(
)
[ ]
1
2
3
σ
μ σ
σ
σ
−
+
≤
                            (9.2)
Қарастырылған екі теория да əмбебап болып есептелмейді. Кейде 
біріншісi  тəжірибемен  сəйкес  келсе,  кейде – екіншісі.  Дегенмен, 
тұтас біртекті дене үшін, екінші теорияның нəтижесі жоғары екенін 
есте ұстаған артық болмайды.
Б.  Үшінші  жорамал.  Қазіргі  кезге  дейін  өз  мағынасын  жоғалт-
паған  жорамал  Треска  мен  Сен-Венанның  атымен  байланысты. 
Бұл ойды 1773ж. француз физигi Кулон да айтқан еді. Бұл жорамал 
бойынша,  материалдағы  қауіпті  күй,  ең  үлкен  жанама  кернеу 
(t
max
)  белгілі  бір  тұрақты  шамаға  жеткенде  пайда  болады.  Осыған 
байланысты, мұны ең үлкен жанама кернеу теориясы немесе үшінші 
беріктік теориясы деп атаймыз.
Ең  үлкен  жанама  кернеудің  шамасын  өткен  тарауда  анықтаған 
едiк.
(
)
max
1
3
1
2
τ
σ σ
=
−
Ең  үлкен  жанама  кернеулері  бірдей  кез  келген  күйлердің 
қауіптіліктері де бірдей деп қабылдаймыз (113-сурет). 

153 
(
ǩǦ )
113-сурет
Осыған байланысты “эквивалент кернеу” деген ұғым кіргіземіз.  
Созылған  үлгідегі  берілген  кернелген  күйге  теңбе-тең  кернеуді 
эквивалент кернеу дейміз.
1
3
1
1
2
2
ɷɤɜ
V
V
V

 
.   
                          (9.4)
Осы тұжырымға байланысты, созылу үшін
max
,
2
σ
τ
=
         
[ ] [ ]
2
σ
τ =
.                            (9.5)
(9.3)  формуланы (9.4) формуламен  салыстыру  арқылы,  беріктік 
шартын аламыз
[ ]
max
τ
τ
≤
                                             (9.6)
[ ]
1
3
σ σ
σ
−
≤
                                      (9.6а)
В.  Төртінші  жорамал.  Көптеген  ғалымдар,  материалдардың 
қауіпті  күйі  тек  деформацияға  немесе  тек  кернеуге  ғана  тəуелді 
емес, олардың екеуіне де тəуелді деген жорамал жасады. Мысалы, 
итальян  ғалымы  Бельтрами (1885ж.),  материалдардың  беріктігін 
денедегі меншікті потенциалдық энергия арқылы бағалау керектігін 
ұсынды. Бірақ бұл теория тəжірибемен дəлелденбеді.
Созылымдылық  деформация  кезінде  көлемнің  өзгермейтінін 
ескере отырып, Губер (1904 ж.), Мизес (1913 ж.) жəне Генки (1923 
ж.)  беріктік  өлшемі  ретінде  потенциалдық  энергияның  бір  бөлігін 
-  пішін  өзгерту  энергиясын  пайдалануды  ұсынды.  Бұл  жорамал 

154
-  беріктіктің  энергетикалық  теориясы  немесе  төртінші  беріктік 
теориясы деп аталады.
Үш  бас  кернеуде  нөлге  тең  болмаған  кезде,  пішін  өзгерту 
энергиясының формуласы:
(
) (
) (
)
2
2
2
max
1
2
2
3
3
1
1
6
î ï
U
E
μ σ σ
σ
σ
σ σ
+ ⎡
⎤
=
+
+
−
+
−
⎣
⎦
                        (9.7)                   
Қарапайым созылу үшiн 
2
1
2
6
ɨɩ
U
ȿ
P
V

 
˜
  
                                  (9.8)
Берiктiк шарты:
                             
[ ]
max
î ï
î ï
U
U
≤
                                       (9.9)
>
@
> @
2
1
2
6
ɨɩ
U
ȿ
P
V

 
˜
   
                              (9.10)
(9.6) формула мен (9.9) формуладан
(
) (
) (
)
[ ]
2
2
2
1
2
2
3
3
1
1
2
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
⎡
⎤
−
+
−
+
−
≤
⎣
⎦
          (9.11)
§3. Мор теориясы 
Өткен  параграфта  бірнеше  беріктік  теорияларын  қарастырдық. 
Ол  теориялардың  ешқайсысы  əмбебап  болмағанмен,  өздерінің 
қолданылу  аймағына  сəйкес,  тəжірибелермен  дəлелденетіні  де 
белгілі.  Енді  бұл      мəселеге  басқа  тұрғыдан  қарауға  да  болады. 
Мысалы,  тəжірибеден  жинақталған  мəліметтерді  жүйелеу  арқылы 
беріктік  теориясын  тұжырымдауға  болатынын  неміс  ғалымы  Мор 
көрсетті.  Мор  теориясы  бойынша,  беріктік  шарты  төмендегіше 
тұжырымдалады.
> @
1
3
ɤ
V
V
V
 ˜
d
  
                           (9.12)
Бұл формуладағы:
ɫɡ
V
 -
- материалдың созылудағы ағу шегі;

155 
ɫ
V
 
- материалдың сығылудағы ағу шегі.
ɫɡ
a
ɫ
ɚ
ɤ
V
V
 
 
 - деп белгiлеп, Мор коэффициенті ретінде қабылдаймыз.
Бұл  берiктiк  шарты,  қазiргi  кезде  кеңiнен  қолданылады  (Мор 
теориясы туралы толығырақ мəлімет «Қосымшада» келтірілген).
§ 4. Беріктік теорияларының есептеу кернеулері. 
Беріктік теорияларын қарастырудың қорытындысында, кез келген 
кернелген күй үшін беріктік шартын былайша тұжырымдаймыз:
> @
ɟɫɟɩ
V
V
d
.   
                                (9.13)
Бұл жердегі
σ
есеп
 - есептеу (келтірілгең) кернеуі; 
[σ] - қарапайым созылу жəне сығылудағы мүмкін кернеу; 
Зерттелген беріктік теориялары үшін, есептеу кернеулері:
                                    
max
1
I
ɟɫɟɩ
V
V
V
 
 
, 
max
1
2
3
II
ɟɫɟɩ
E
V
H
V
P V
V
 
˜
 


, 
max
1
3
2
III
ɟɫɟɩ
V
W
V
V
 
 

,                                    
 
 
2
2
2
1
2
2
3
3
1
1
2
IV
ɟɫɟɩ
V
V
V
V
V
V
V
ª
º
 





¬
¼
,
1
3
Ɇɨɪ
ɟɫɟɩ
ɤ
V
V
V
 
 ˜
. 
                       (9.14)

156
10-тарау. КҮРДЕЛІ ЖҮКТЕМЕ (КҮРДЕЛІ ҚАРСЫЛАСУ)
Тəжірибеде  жиі  кездесетін  құрылмалар  мен  жүйелердің 
элементтерінде  бірнеше  ішкі  күштер  пайда  болатын  кездер 
жеткілікті түрде кездесіп тұрады. Осындай элементтерді (жүйелерді) 
беріктікке есептеу жолдары сол элементке əсер етіп тұрған жүктемеге 
байланысты.  Элементтің  қимасында  бірнеше  ішкі  күштер  пайда 
болатын  жүктеменің  түрі  күрделі  жүктеме  деп  аталады.  Сондай 
күрделі жүктемелердің үш түрі осы тарауда қарастырылады.
§1. Қиғаш иілу
Сыртқы күштер жатқан жазықтық, бас жазықтардың біреуімен де 
сəйкес келмейтін иілу, қиғаш иілу деп аталады. Басқаша айтқанда, 
элементтің екі бас жазықтық бойымен бір уақытта иілуі   (114,а,б-
суреттер).  Кернеулерді  табу  үшін,  арқалыққа  əсер  етіп  тұрған  ию 
моментін,  х  жəне  у  осьтеріне  проекциялап,  оның  құраушыларын 
табамыз.
x
M
M Sin
α
=
⋅
,     
y
M
M Cos
α
=
⋅
                                (10.1)
       
       
114-сурет
Таза  иілудің  формуласын  қолданып,  қиманың  кез  келген 
нүктесіндегі кернеуді табамыз, яғни
i
x
y
y
x
M
Sin
Cos
J
J
σ
α
α
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
                  (10.2)

157 
Қимадағы  ең  үлкен  кернеуді  табу  үшін,  бейтарап  сызықтың 
жазықтықтағы орнын табу керек. Ол үшiн кернеуді нөлге теңестіріп, 
бейтарап сызықтың теңдеуін аламыз.
0
x
y
y
x
Sin
Cos
J
J
α +
=
    немесе   
x
y
J
y
x tq
J
α
= −
⋅
.        (10.3)
Бейтарап  сызықтың  ию  моментінің  жазықтығына  қарағанда 
қалай  орналасқанын  тексеру  үшін,  аналитикалық  геометриядан 
белгiлi мына бір жағдайды еске түсірейік.
Екі  түзу  бір-біріне  перпендикуляр  болу  үшін   
1
2
1
k
k
= −
    болу 
керек.  Біздің  қарастырып  отырған  есепте  к
1
=tgα,  ал 
2
x
y
J
k
ctg
J
α
= −
,  
сондықтан,  бейтарап  сызық  ию  моментінің  жазықтығына 
перпендикуляр  болу
 
үшін    J
х
 = J
у
    болу  керек.  Көпшілік 
конструкцияларда 
x
y
I
I
≠
 болғандықтан 
1
2
1
k
k
≠ −
. Сонымен, жалпы 
алғанда, бейтарап сызық күштер жазықтығына перпендикуляр емес 
деп  тұжырымдаймыз.  Бірақ,  дөңгелек,  квадрат,  тағы  сол  секілді 
қималар үшін 
x
y
I
I
=
 болғандықтан, мұндай қималардың бейтарап 
сызығы күштер жазықтығына перпендикуляр жатады.                                                    
Егер  бейтарап  сызықтан  ең  алысқа  орналасқан  нүктесінің 
координаталары х
*
 жəне у
*
 болса, онда қауіпті кернеу:
max
y
x
x
y
M x
M y
J
J
σ
∗
∗
⋅
⋅
=
+
.                               (10.4)
Ал қарастырылып отырған есеп үшін берiктiк шарты:
[ ]
y
x
x
y
M x
M y
J
J
σ
∗
∗
⋅
⋅
+
≤
.                           (10.5)
Егер  қиғаш  иiлу  кезінде  ию  моменттері  тұрақты  болмай,  олар  
өзгеріп отыратын болса (біз қарастырған есепте ию моменті тұрақты 
шама), онда беріктік шартын жазу үшін қауіпті қиманы анықтап алу 
қажет екенiн ұмытпау керек. 

158
§2. Центрден тыс созылу немесе сығылу
Сыртқы  күштердің  тең  əсер  күші  сырықтың  бойлық  осіне 
параллель  бағытталып,  бірақ  оның  қимасының  салмақ  центрі 
арқылы өтпейтiн жүктелу, центрден тыс созылу немесе сығылу деп 
аталады. 
Барлық  сыртқы  күштердің  тең  əсері 
( ,
)
P
p
A x y
  нүктесі  арқылы 
өтiп тұрған сырықты алып қарастырайық  (115,а-сурет).
Теориялық  механиканың  ережесiн  қолданып  Р  күшін  қиманың 
центріне көшіргенде, қимада екі момент пайда болады (115,б-сурет). 
Олар:
,
x
P
M
P y
  ˜
     
ɭ
Ɋ
Ɇ
Ɋ x
  ˜
    
                     (10.6)
Қиманың  нүктесіндегі    кернеуді  табу  үшін,  күш  əсерінің 
тəуелсіздігі принципін қолданамыз, яғни əр күштен пайда болатын 
кернеулерді жеке-жеке тауып алып, содан кейін олардың алгебралық 
жиынын анықтаймыз. Мысалы, бойлық күштен (N=Р) пайда болатын 
кернеу 
Ɋ
Ɋ
Ⱥ
V
 
 
  болса, ию моменттерінің кернеуі
x
x
M y
J
σ
⋅
=
      немесе   
y
y
M x
J
σ
⋅
=
.      
            
115-сурет 
 
Сонымен, кез келген i нүктесiндегi кернеу

159 
p
P
i
x
y
P x x
P y y
P
Ⱥ
J
J
V
˜
˜
˜
˜
 


  
                     (10.7)
Ең  үлкен  кернеудің  бейтарап  сызықтан  шалғай  жатқан  нүктеде 
пайда  болатыны  белгілі.  Ал,  бейтарап  сызықтың  жазықтықтағы 
орнын табу үшін, кернеуді нөлге теңейміз. Сонда,
1
0
p
P
y
y
y y
x x
Ⱥ
J
J
˜
˜


 
   
                       (10.8)
Бейтарап  сызықтың  қима  центрі  арқылы  өтпейтіні  соңғы 
формуладан  айқын  көрінеді.  Ол  сызықтың  қима  центрінен  қанша 
қашықтықта  жатқанын  табу  үшін  мынадай  шартты  белгілер 
кіргізейiк.
1
,
c
A
=
      
,
P
y
X
b
J
=
      
p
x
y
a
J
=
                 (10.9)
Ендi (10.8) формуланы төмендегiше өрнектеуге болады
0
ay bx c
+
− =
                            (10.10)
Аналитикалық  геометриядан  белгілі  формула  бойынша, 
координата  басынан  кез  келген  түзуге  дейiнгi  ара-қашықтықты 
табамыз (116-сурет).
2
2
C
OC
a
b
 

    ǣǛǢǛǧǛ      
2
2
2
2
1
P
P
x
y
Ⱥ
OC
y
x
J
J
 

 
Бұл  формуладан  байқайтынымыз     күш  қима  центріне  таяған 
сайын, бейтарап сызық  шексіздікке ұмтылады  (ОС ≈ ∞).     

160
116-сурет
Сонымен қатар, күштің қай нүктеге түсуіне байланысты, бейтарап 
сызық қиманы екіге бөліп өтуі де мүмкін, ал кейбір кезде, ол қиманы 
жанап  өтуі  де  мүмкін  екені  көрінеді.  Соңғы  жағдайда,  қимада  тек 
бір таңбалы кернеулер пайда болатынын да атап өту қажет. Осыған 
байланысты, қима центрінің маңына орналасатын, қима ядросы деп 
аталатын аудан анықталады. Егер сыртқы күш осы ауданда əсер етсе 
қимада бір таңбалы кернеу пайда болады, демек, бейтарап ось бұл 
кезде қиманы кесіп өтпейді.                                           
Бейтарап  сызықтан  ең  алыс  жатқан  нүктені k(х*у*)  деп  алсақ 
(116-сурет), онда қауіпті кернеу төмендегі формуламен табылады.
                      
*
max
1
P
P
x
y
y y
x x
P
Ⱥ
J
J
V
§
·
˜
˜
  ˜


¨
¸
¨
¸
©
¹
  
                             (10.11)
Берiктiк шарты өткен тараудағыдай
[ ]
max
σ
σ
≤
                                    (10.12)             
§3. Бұралып иілу
“Бұралу”  тарауында,  дəлірек  айтқанда,  таза  бұралу  кезінде, 
«білікті» беріктікке есептегенде, оған əсер етіп тұрған сыртқы бұрау 
моменттерінiң əсерi ғана ескерілді, яғни жүктеменің «таза бұралу» 
түрі қарастырылды. Ал, тəжірибеде жиі кездесетін конструкциялар 

161 
жəне  олардың  элементтерінің,  тек  қана,  таза  бұралып  жұмыс 
істеуі  сирек  кездеседі.  Мысалы,  білікке  əсер  ететін  бұрау 
моменттерінен  басқа,  оған  тісті  дөңгелектер  арқылы,  белбеулер 
мен  шынжырлар  арқылы  берілетін  күштер,  тіпті  оның  өз  салмағы 
да  əр  уақытта  білікті  иіуге  əрекет  етеді.  Сонымен,  тəжірибеде 
кездесетін  конструкциялардың  элементтерінің  көпшілігі,  əсіресе, 
машиналардың  көптеген  бөлшектері  иіліп  бұралады.  Осыған 
байланысты, мынадай есепті шешіп көрейік.
Білікке, екі тісті дөңгелектер бекітіліп, олар арқылы  бiлiкке екі 
күш əсер етсін  (117,а  жəне  117,ə-суреттер). 
 
 
117-сурет
Əр  жазықтықтағы  (хоz  жəне  уоz)  моменттердің  эпюраларын 
тұрғызғаннан  кейін (118-сурет)  толық  ию  моментінің  эпюрасын 
тұрғызу  үшін,  сəйкес  ординаталардың  геометриялық  жиынын 
табамыз.  Табылған  мəндер  бойынша  эпюраны  тұрғызамыз. 
Содан  кейін,  бұрау  моментінің  эпюрасын  тұрғызғаннан  кейін 
(119-сурет), біліктің қауіпті қимасын анықтаймыз. Кернеулерді табу 
үшін,  бұрыннан  белгiлі,  тік  кернеулер  мен  жанама  кернеулердiң 
формуласын пайдаланамыз. 
11–661

162
118-сурет
Қиғаш  тісті  дөңгелектерден  пайда  болатын  бойлық  күш  (Ν) 
жəне көлденең күш (Q) көпшілік есептерде ескерілмейді, ал оларды 
ескеру керек болған кезде дайын формулалар қолданылады
N
Ⱥ
V
 
,     
Q S
J b
W
˜
 
˜
 
                            (10.13)
 
119-сурет
Қорыта айтқанда, бұралып иiлгенде (немесе «иіліп бұралғанда») 
жанама кернеудің де,  тік кернеудің де беріктікке əсері мол.
ɂ
M
N
Ⱥ
W
V
 

,     
*
ɤ
M
Q S
W
J b
G
W
˜
 

˜
                 (10.14)
Сондықтан,  көлденең  иілудегідей,  əр  кернеудің  əсерін  жеке-жеке 
қарастыруға  болады.  Беріктікке  тексеру  үшін,  есептеліп  отырған 
элементтiң  кернелген  жəне      деформацияланған  күйiн  толық  зерттеу 
қажет.

163 
11-тарау. СТАТИКАЛЫҚ АНЫҚТАЛМАЙТЫН 
СЫРЫҚТАР ЖҮЙЕСІН КҮШТЕР ТƏСІЛІМЕН ЕСЕПТЕУ
       Қандай жүйелердің статикалық анықталатыны, ал қандайының 
статикалық  анықталмайтыны  «Теориялық  механика»  пəнінде  де 
қарастырылған болатын. Бұл жерде қайталай кететін нəрсе - сырттай 
жəне іштей статикалық анықталмайтын жүйелер туралы түсінік.
Егер  қарастырылып  отырған  жүйенің  тіректеріндегі  реак-
циялары  статиканың  теңдеулерінің  көмегімен  табылмаса  (тірек 
реакцияларының  саны  статиканың  тепе-теңдік  теңдеулерінен 
көп  болса)  онда  ол  сырттай  статикалық  анықталмайтын  жүйе 
болып  табылады.  Ал,  егер  жүйенің  тірек  реакциялары  статиканың 
теңдеулерінен  табылып,  ал  оның  элементтеріндегі  ішкі  күштер 
қима  тəсілімен  табылмайтын  болса,  онда  мұндай  жүйелер  іштей 
статикалық анықталмайтын болып табылады.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: