Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептер. Ақырлы – айырымдық әдістер

2-ретті дифференциалдық теңдеу берілсін.

(1) теңдеу үшін екінүктелі шектік есеп келесідей қойлады: [a,b] аралығында (1) теңдеуін және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде

₁[y(a), y ^/(a)]=0 (2)

₂[y(b),y ^/(b)]=0

шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек.

(1) теңдеу және (2)- шекаралық шарт сызықты болған жағдайды қарастырайық. Мұндай шектік есептер сызықты шектік есептер деп аталады және төмендегідей түрде жазылады:

мұндағы p(x), q(x), f(x) – функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз функциялар, ал ₀,₁,₀,₁, A,B –берілген тұрақтылар және ₀+₁0, ₀₁0.

Егер A=B=0 болса, онда (4) – шекаралық шарттар біртекті шекаралық шарттар деп аталады.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған шектік есепті шешудің жалпы 2 әдісі бар:

1. 
   Дифференциалдық теңдеудің ақырлы – айырымдық немесе шектік – айырымдық түрін қолдану – сандық әдіс.
   
2. 
   Шектік есепті бірнеше Коши есебін шешуге келтіру аналитикалық әдіс.
   

Бұл әдістің негізгі идеясы - шектік есепті шешуді алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіру.

Берілген аралықты бірнеше бөлікке бөлу арқылы бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер жүйесін құрамыз: x₀=a, x_n=b, x_i=x₀+ih (i=1,2,…,n-1), қадамы h=b-a/n және p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), f_i=f(x_i) болсын.

x_i түйіндерінде ізделінді функцияның жуық мәнін y(x) және y ^/(x) ,y ^//(x) туындыларын сәйкесінше y_i ,y_i^/ ,y_i ^// деп белгілейік. Құрылған түйіндер жүйесінің әрбір ішкі түйінінде y_i^/(x_i), y_i^//(x_i) туындыларын сәйкес ақырлы – айырымдық қатынастарымен алмастырамыз:

Шекаралық шарттар үшін: