Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 7. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Пример 83.
6. Вычисление несобственных интегралов с помощью преобразования Лапласа
Пусть нужно вычислить интеграл j( , ) x t dt a b ò , который является интегралом зависящим от параметра x. Обозначим его f x x t dt a b ( )
( , ) = ò j
и пусть F p f x ( )
( ). ®
Найдем F p e px x t dt dx a b ( )
( ( , ) )
= - ¥ ò ò 0 j (26) Изменение порядка интегрирования часто дает возможность довести задачу до конца: найти изображение F p ( )
интеграла f x ( )
, а затем и сам оригинал f x ( )
. Пример 74. Вычислить f x xt t dt ( )
cos . = - ¥ ò 1 2 0 Его изображение F p e px xt t dt dx a b ( )
( cos
) = - ¥ - ò ò 0 1 2
Изменим порядок интегрирования F p t e px tx dx dt t p p p t dt ( )
( ( cos ) ) = ¥ - ¥ - = - + ¥ ò ò æ èç ö ø÷ ò 1 2 0 0 1 1 2 1 2 2 0
Здесь использованы формулы 1 1 ¬ p и
cos tx p p t ¬ + 2 2 . Окончательно F p dt p p t p x f x ( )
( ) ( ) = + ¥ = ® = ò 2 2 0 2 2
2 p p . Итак 1 2 2 0 - = ¥ ò cos .
t dt x p
Аналогично можно вычислить следующие интегралы.
75.
xt xt t dt t - ¥ ò sin
. 3 0 Ответ px 2 4
76.
cos .
a t dt 2 2 0 + ¥ ò p 2a e ax -
77. sin
( ) . xt t t dt 4 4 0 + ¥ ò Ответ p 8
( cos )
- - × e x x
78. ( ) sin
. 1 0 + - ¥ ò e xt xt t dt Ответ 3 4
Пример 79. Доказать e xt t dt xt t dt - + = + ¥ ò ¥ ò 2 1 1 0 0 sin Решение. Найдем изображения подынтегральных функций по переменной x и сравним интегралы от них. Имеем
- ¬ + 1 . I лев p p t t p t dt p p t t p arctgt = + - + + + = + + - + + × æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ¥ ¥ ò æ èç ö ø÷ 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1) 0 0 ln( ) ln(
p p p = + - æ èç ö ø÷ 1 2 1 2 p ln
Во втором случае имеем sin
. xt t p t ¬ + 2 2
I п ав p p t t p t dt p t t p p p arctg t p р ln( ln( ) = + + + - + = + - + + + + × æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ¥ ¥ ò æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1) 1 2 2 2 2 0 0
I п ав p p p р ln = + - æ èç ö ø÷ 1 2 1 2 p . Видим, что левая часть равна правой, равенство доказано.
Пример 80. Доказать te xt t dt xt t dt - + = + ¥ ò ¥ ò 2 1 1 0 0 cos Указание. Сравнить изображения интегралов, имеющих вид F p p p p p ( )
ln = × + + + × p 2 1 2 1 2 1
7. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
n t a x n t an x t a nx t f t ( )
( ) ( ( ) . . . ( ) ( )
( ) + - + + - ¢
+ = 1 1) 1 (27) где a k –действительные числа. Требуется найти решение дифференциального уравнения (27), удовлетворяющее начальным условиям
( )
, ( )
, . . . , ( ( ) ( 0 0 0 0 1) 0 0 1) = ¢ = ¢ - = - (28) где x x x n 0 0 0 1) , , . . . , ( ¢ - –заданные числа. Будем предполагать, что искомая функция
( )
, все ее производные, а также функция f t ( )
являются оригиналами. Пусть x t X p f t F p ( )
( ), ( )
( ). ¬ ¬ По формулам дифференцирования оригиналов (22): ¢ ¬
¢¢ ¬ - - ¢ x t pX x x t p X px x ( )
, ( )
, . . . 0 2 0 0
. . .
( ( )
. . . ( ) , ( )
( ) . . .
( x n t p n X p n x x n x n t p n X p n x x n - ¬ - - - - - - ¬ - - - - - 1) 1 2 0 0 2 1 0 0 1)
Перейдем от дифференциального уравнения (27) к уравнению в изображениях ( ) ( )
n X p n x x n a pn X pn x x n a n pX x a n X F - - - - - + - - - - - - + + - - + = 1 0 0 1) 1 1 2 0 0 2 1 0 . . .
( . . .
( ) . . . Перепишем его так Qn p X p F p Rn p ( ) ( )
( ) ( )
= + -1 , где Q n p p n a p n a n p a n ( )
. . . . , = + - + + - + 1 1 1 R n p p n x x n a p n x x n a n x - = - + +
- + - + + - + + - 1 1 0 0 1) 1 2 0 0 2 1 0 ( ) . . .
( ( . . . ( ) ) . . . . .
Находим так называемое операторное решение уравнения
( )
( ) ( )
( ) = + -1 (29)
Найдя оригинал x t ( )
по его изображению X p ( )
, мы получим тем самым решение задачи Коши для дифференциального уравнения (27). Пример 81. Найти решение дифференциального уравнения ¢¢ - ¢ + = x t x t x t ( )
( ) ( )
4 5 0 , удовлетворяющее условиям x x ( )
, ( )
. 0 0 0 1 = ¢ =
Решение. Запишем уравнение в изображениях p X pX X X p p p 2 1 4 5 0 1 2 4 5 - -
+ = = - + , ( )
или X p p e t t x t ( )
( ) sin ( ) = - + ® = 1 2 2 1 2 –искомое решение. Пример 82. Найти решение дифференциального уравнения ¢¢¢
+ ¢ = x t x t ( )
( ) 4 1 , удовлетворяющее условиям x x x ( )
( ) ( )
0 0 0 0. = ¢
= ¢¢ =
Решение. Уравнение в изображениях p X pX p X p p p 3 4 1 1 2 2 4 + = = + , ( )
( ) или иначе X p p p t t ( )
sin . = × - × + ® - 1 4 1 2 1 4 1 2 4 4 1 8 2 Итак, решение имеет вид x t t t ( )
sin . = - 4 1 8 2
Пример 83. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
¢¢ + ¢ + = -
x t x t e t t ( )
( ) ( )
cos 2 10 2 3
Решение. Возьмем произвольные начальные условия ( )
x c 0 1 = , ¢ =
c ( )
0 2 . Уравнение в изображениях ( ) p x c p c px c x p p 2 1 2 1 2 2 2 10 2 1 1 9 - - + - + = + + + , Найдем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x p c p p c c p p p ( )
= + + + + + + + + + + + 1 2 1 2 2 2 2 1 1 9 1 1 9 2 1 1 9
® ( ) c e t c c e t e t t t t t 1 1 2 3 1 3 3 2 6 3 - - - + + + cos sin sin Ко всем дробям применена теорема смещения (15), дающая множитель e
- , к последней дроби применена теорема умножения изображений (17) (смотри также пример 64). Искомое решение ( ) (
x t e c t t c c t t = + + + æ èç ö ø÷ - 1 1 2 3 1 3 3 cos
sin
Пример 84. Решить д.у. ¢¢ -
¢ - =
x y e t 2 3 3 при условиях ( ) ( )
x x 0 0 0 = ¢
= Решение. Переходим к уравнениям изображениях
( )
( ) ( )
( )
px x pX x X p 2 0 0 2 0 3 1 3 - - ¢
- - - = -
или p X pX X p 2 2 3 1 3 - - = - ,
( ) ( )( ) X p p p = + - 1 1 3 2
разложим дробь на простейшие ( )( ) ( ) (
) 1 1 3 3 3 1 2 2 p p A p B p C p + - = - + - + + , ( ) ( )( ) (
) 1 1 3 1 3 2 = + + - + +
- A p B p p C p . При p= -1 имеем 1=16C , т.е С = 1 16 При p=3 имеем 1=4A , т.е A = 1
Сравнивая коэффициенты при p 2 : B+C=0 , B= – 1 16
Итак ( )
( ) ( ) ( ) X p p p p = - - - + + 1 4 3 1 16 3 1 16 1 2
® 1 4 1 16 1 16 3 3 te e e t t t - + -
Решение д.у. ( ) x t e t e t t = + - æ èç ö ø÷ - 1 16 4 1 16 3 .
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|