1. Үш өлшемді евклидтік кеңістігіндегі Вейль аксиомалар жүйесі
2. Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы, тәуелділігі және толықтығы.
V кеңістігі-нақты сандардың R өрісі үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік болсын. Егер Вейльдің төмендегі үш аксиомасын қанағаттандыратын σ: E × E→V бейнелеуі берілсе, E≠ Ø жиыны E 3 кеңістік деп аталады, ол аксиомалар мыналар:
V кеңістігі-нақты сандардың R өрісі үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік болсын. Егер Вейльдің төмендегі үш аксиомасын қанағаттандыратын σ: E × E→V бейнелеуі берілсе, E≠ Ø жиыны E 3 кеңістік деп аталады, ол аксиомалар мыналар:
1) Əрбір AEэлементі үшін σ: E→V бейнелеуі σ A (B)
= σ(A,B), BE заңы бойынша биекция болып табылады.
2) + = , A,B,CE .
3) V векторлық кеңістігі-евклидтік векторлық кеңістік.
Бұл-V векторлық кеңістігі үстінде оң таңбалы
g:V×V→R бисызықтық форма берілді деген сөз (мұндағы
= санын пен векторларының скаляр көбейтіндісі деп атайды).
V кеңістігі-нақты сандардың R өрісі үстіндегі үш өлшемді
векторлық кеңістік болсын. Егер Вейльдің төмендегі үш
аксиомасын қанағаттандыратын σ: E × E→V бейнелеуі берілсе,
E≠ Ø жиыны E 3 кеңістік деп аталады, ол аксиомалар мыналар:
1) Əрбір A=Eэлементі үшін σ: E→V бейнелеуі σ A (B)
= σ(A,B), =B=E заңы бойынша биекция болып табылады.
2) АВ + ВС = A,B,C=E .
3) V векторлық кеңістігі-евклидтік векторлық кеңістік.
Бұл-V векторлық кеңістігі үстінде оң таңбалы
g:V×V→R бисызықтық форма берілді деген сөз (мұндағы
= санын пен векторларының скаляр
көбейтіндісі деп атайды).
Сонымен, евклидтік E 3 кеңістігі структурасының базасы E,
V, R жиындарының үштігі болады, мұндағы R- нақты сандардың өрісі, ал V жиынының үлесіне R үстіндегі үш өлшемді евклидтік векторлық кеңістігінің структурасы тиген.
Сонымен, евклидтік E 3 кеңістігі структурасының базасы E, V, R жиындарының үштігі болады, мұндағы R- нақты сандардың өрісі, ал V жиынының үлесіне R үстіндегі үш өлшемді евклидтік векторлық кеңістігінің структурасы тиген.
V мен R жиындары-көмекші жиындар рольдерін атқарады, атап айтқанда: R өрісі-векторлық кеңістіктің аксиомалары бойынша V үстінде қолданылатын операторлардың (скалярлардың) жиыны, ал V жиыны Вейльдің 1-3 аксиомалары бойынша E жиынының үстінде қолданылатын операторлардың жиыны болады.
E 3 cтруктурасын анықтауда E жиыны-негізгі жиын рөлін,V мен R жиындары-көмекші жиындар рольдерін атқарады, атап айтқанда: R өрісі-векторлық кеңістіктің аксиомалары бойынша V үстінде қолданылатын операторлардың (скалярлардың) жиыны, ал V жиыны Вейльдің 1-3 аксиомалары бойынша E жиынының үстінде қолданылатын операторлардың жиыны болады.
2. ВЕЙЛЬ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ ҚАЙШЫЛЫҚСЫЗДЫҒЫ, ТӘУЕЛДІЛІГІ ЖӘНЕ
ТОЛЫҚТЫҒЫ
1) Кітаптың 2-бөлімінде кез-келген n натурал сан үшін En евклидтік кеңістік (R өрісі үстінде) болатындығы дәлелденген.
кеңістігі нақты n өлшемді евклидтік кеңістік структурасының бір моделі болып табылады. Ол моделді құрғанда біз арифметика ұғымдарын және R өрісі үстіндегі арифметикалық операциялардың (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қасиеттерін кең түрде пайдаландық. Сондықтан мына теорема дұрыс болады.
Онда E жиыны ретінде
Rn =R ,R 2... ,R
(n-рет)жиыны алынған , ал
көшірулердің V кеңістігі R өрісі үстіндегі –өлшемді евклидтік
векторлық кеңістіктің структурасына сәйкестендіру арқылы сол Rn жиынынан құрастырылған. Сондықтан құрастырылған E кеңістігі нақты n өлшемді евклидтік кеңістік структурасының бір моделі болып табылады. Ол моделді құрғанда біз а рифметика ұғымдарын және R өрісі үстіндегі арифметикалық операциялардың (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қасиеттерін кең түрде пайдаландық. Сондықтан мына теорема дұрыс болады.
2. Теорема. Егер нақты сандардың арифметикасы қайшы- лықсыз болса, онда 1-3 Вейль аксиомаларының жүйесі қайшылықсыз болады.
Аксиомалардың бұл жүйесінің толымдық қасиеті де бар, өйткені оның интерпретацияларының бәрі изоморфты болып отырады.
арифметикасы қайшылықсыз болса,
онда 1-3 Вейль аксиомаларының
жүйесі қайшылықсыз болады.
Аксиомалардың бұл жүйесінің
толымдық қасиеті де бар,
өйткені оның интерпретацияларының
бәрі изоморфты болып отырады.
