Представления десятичных чисел в разных системах счисления
q = 10
|
q = 2
|
q = 8
|
q = 16
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
10
|
2
|
2
|
3
|
11
|
3
|
3
|
4
|
100
|
4
|
4
|
5
|
101
|
5
|
5
|
6
|
110
|
6
|
6
|
7
|
111
|
7
|
7
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
14
|
1110
|
16
|
E
|
15
|
1111
|
17
|
F
|
Кроме этого, полезно знать десятичные значения чисел 2k от
k = 0 до k = 10 (см. таб. 1.3).
Таблица 1.3
Значения чисел 2k
k
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
2k
|
1
|
2
|
4
|
8
|
16
|
32
|
64
|
128
|
256
|
512
|
1024
|
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода целого числа N с q-ичным основанием в деся- тичное число записывают в виде многочлена, а затем вычисля- ют его по правилам десятичной арифметики:
n n-1 2 1
N = a · qn + a · qn-1... + a ·q1 + a · q0.
Здесь an – это цифры числа,
q – основание системы счисления,
n – 0, 1, 2 ... .
Пример:
2
(11001) = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 =
= 1 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = (25)10
(221)3 = 2 · 3 + 2 · 3 · 1 · 3 = 2 · 9 + 2 · 3 + 1 · 1 = (25)
10
2 1 0
(221)3 = 2 · 3 + 2 · 3 · 1 · 3 = 2 · 9 + 2 · 3 + 1 · 1 = (25)
2 1 0
10
(31)8 = 3 · 8 + 1 · 8 = 3 · 8 + 1 · 1 = (25)
1 0
10
(534D)16 = 5 · 16 + 2 · 16 + 4 · 16 +13 · 16 =
3 2 1 0
= 20480 + 512 + 64 +13 = (21069)10
Примечание: при работе с различными системами счисле- ния число записывают в скобках, а за скобками – основание системы.
Для обратного преобразования целых чисел (из десятичной системы счисления в систему с основанием q) число N делят на q и записывают остатки от деления до тех пор, пока частное от предыдущего деления не станет равным нулю.
Пример: преобразуем число 25 в двоичную систему:
Исходное число Частное Остаток 25/2 12 1
12/2 6 0
6/2 3 0
3/2 1 1
1/2 0 1
Результат: 2510 110012
a4 a3
a2 a1 a0
Когда последнее частное стало равно нулю, записывают все остатки подряд от последнего к первому. Таким образом, полу- чили число в двоичной системе счисления – 110012 .
Для перевода смешанных чисел в двоичную систему счис-
ления требуется отдельно переводить их целую часть и дроб- ную части. В записи результата целая часть перевода отделяет- ся от дробной запятой в соответствии с формулой:
N = ± a n a n-1 ... a 1 a 0 , a -1 a -2 ... a -n
Основные системы счисления
Двоичная система счисления. В компьютерной технике в основном используется двоичная система счисления. Такую си- стему очень легко реализовать в цифровой микроэлектронике, так как для нее требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1). Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной. Реализовано это может быть присутствием какого- либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет,
намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т. п.
Восьмеричная система счисления – позиционная цело- численная система счисления с основанием 8. Для представле- ния чисел в ней используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная система счисления часто используется в об- ластях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризует- ся легким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обрат- но, путем замены восьмеричных чисел на триады двоичных.
Ранее эта система широко использовалась в программирова- нии и компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной системой.
Для перевода двоичного числа в восьмеричное исходное число разбивают на триады влево и вправо от запятой; отсут- ствующие крайние цифры дополняют нулями. Затем каждую триаду записывают восьмеричной цифрой (см. табл. 1.2).
Пример: иллюстрация перевода двоичного числа в восьме- ричное число:
6
3 4
2
N 110011,1000102 110 011, 100 010 63,428 .
2
Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятич- ные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозна-
чения цифр от 10102 до 11112 , то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B, C, D, E, F)16.
Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное ис- ходное число разбивают на тетрады влево и вправо от запя- той; отсутствующие крайние цифры дополняют нулями. За- тем каждую тетраду записывают шестнадцатеричной цифрой (см. табл. 1.2).
Пример: иллюстрация перевода двоичного числа в шест- надцатеричное число:
7 A B E F .
N 0111 1010 1011, 1110 1111
7AB,EF 16
2
Варианты заданий к лабораторной работе (см. табл. 1.4)
Задание 1. Перевести целые числа из десятичной системы счисления:
Задание 2. Перевести целые числа из двоичной системы счисления:
в восьмеричную;
в шестнадцатеричную;
в десятичную.
Задание 3. Перевести целые числа из шестнадцатеричной системы счисления:
в двоичную;
в восьмеричную;
в десятичную.
Задание 4. Сложить:
двоичные числа;
восьмеричные числа;
шестнадцатеричные числа.
Задание 5. Найти разность:
двоичных чисел;
восьмеричных чисел;
шестнадцатеричных чисел.
Задание 6. Вычислить значение выражения и представить в десятичной системе счисления.
Таблица 1.4
Варианты заданий к лабораторной работе
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
Вариант 5
|
Задание
|
a) 2515
|
a) 1052
|
a) 2042
|
a) 5911
|
a) 3988
|
1
|
b) 3084
c) 9042
|
b) 1387
c) 7634
|
b) 5548
c) 2372
|
b) 6321
c) 7629
|
b) 5147
c) 1123
|
Задание
|
a) 110101
|
a) 011001
|
a) 100110
|
a) 011001
|
a) 100010
|
2
|
b) 111010
|
b) 101010
|
b) 110011
|
b) 100001
|
b) 111000
|
|
c) 101111
|
c) 010101
|
c) 101111
|
c) 001001
|
c) 011111
|
Задание
3
|
a) 1F52
b) 5521
c) 1101
|
a)1A1B
b) 2350
c) 3239
|
a) 5EE2
b) 2682
c) 2461
|
a) 7B1B
b) 3458
c) 6537
|
a) 1C2D
b) 6824
c) 8673
|
Задание
|
a) 1011 +
|
a) 0110 +
|
a) 1010 +
|
a) 1101 +
|
a) 1010 +
|
4
|
+ 0111
b) 573 + 325
|
+ 1100
b) 274 + 235
|
+ 0101
b) 271 + 123
|
+ 1101
b) 632++714
|
+ 1010
b) 521+ +623
|
|
c) F1 + E7
|
c) 93 + 2C
|
c) 58 + 79
|
c) 51 + 9D
|
c) 36 + AB
|
Продолжение таблицы 1.4
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
Вариант 5
|
Задание
|
a) 1011 –
|
a) 1110 –
|
a) 1010 –
|
a) 1101 –
|
a) 1010 –
|
5
|
– 0111
|
– 1100
|
– 0101
|
– 1001
|
– 1000
|
|
b) 573 – 325
|
b) 274 – 235
|
b) 271 – 123
|
b) 732 – 714
|
b) 721 –623
|
|
c) F1 – E7
|
c) 93 – 2C
|
c) A8 – 79
|
c) B1 – 9D
|
c) C6 – AB
|
Задание
|
238 +
|
B116 –
|
518 * 2116 –
|
(5916 +
|
258 *
|
6
|
A216 *
|
– 10112 *
|
– 45510
|
+ 11102) *
|
* 56716 –
|
|
* 10012
|
* 1178
|
|
* 4568
|
– 101012
| Контрольные вопросы
Что называется системой счисления?
Какие системы счисления называются непозиционны- ми? Почему? Приведите пример такой системы счисления и записи чисел в ней.
Какие системы счисления применяются в вычислитель- ной технике: позиционные или непозиционные? Почему?
Как изображается число в позиционной системе счисле- ния?
Что называется основанием системы счисления?
Как можно представить целое положительное число в позиционной системе счисления?
Какие системы счисления применяются в компьютере для представления информации?
По каким правилам выполняется сложение двух положи- тельных целых чисел?
Каковы правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления?
Для чего используется перевод чисел из одной системы счисления в другую?
Сформулируйте правила перевода чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления и обратно: из десятичной системы счисления в систему счисле- ния с основанием s. Приведите примеры.
Как выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему и обратно? Из двоичной
системы счисления в шестнадцатеричную систему и обратно? Приведите конкретные примеры.
По каким правилам выполняется перевод чисел из вось- меричной в шестнадцатеричную систему счисления и наобо- рот? Приведите примеры.
Литература:
Бабич, Н. П. Компьютерная схемотехника. Методы по- строения и проектирования / Н. П. Бабич, И. А. Жуков : учеб- ное пособие. – Киев : МК-Прогресс, 2004. – С. 18–26.
Марек, Р. Ассемблер на примерах. Базовый курс / Р. Ма- рек. – СПб. : Наука и техника, 2005. – C. 12–15.
Достарыңызбен бөлісу: |