Уравнения математической физики: Методические указания
жүктеу/скачать 1,22 Mb.
|
ypravl matemat fiziki 1
9-сынып
- Бұл бет үшін навигация:
- Указание
| Пример 8.
Найти решение уравнения с граничными , и начальными , условиями. Решение: Решение ищем в виде: . Тогда: . Разделив обе части на , получим: , , . Учитывая граничные условия, запишем: , , . Задача Штурма-Лиувилля принимает вид: Запишем общее решение первого уравнения системы: , , , (т. к. , ) , N, , (взяли ). Тогда:
. Возвращаясь к функции , получаем: , , . , , . Интегрируя по частям, получаем: . Тогда окончательно: . Пример 9. В области , найти решение уравнения с граничными , и начальными , условиями. Решение: Решение ищем в виде: . Тогда: . Разделив обе части на , получим: , , . Учитывая граничные условия, запишем: , . Задача Штурма-Лиувилля принимает вид: Запишем общее решение первого уравнения этой системы: , , , (т. к. , ), N, (взяли ). Тогда для функции имеем: , . Возвращаясь к функции , получаем: , , , , , . Интегрируя последнее выражение с использованием формул приведения, получаем: = . Заметим, что при 3, 8 выражение для определено в силу первого замечательного предела: , . Тогда окончательно: = . 14. ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Привести уравнения к каноническому виду 1. . Ответ: , , . 2. . Ответ: , , . 3. . Ответ: , , . 4. . Ответ: , , . 5. . Ответ: , , . 6. . Ответ: , , . 7. . Ответ: , , . 8. . Ответ: , , . 9. . Ответ: , , . Решить уравнения 10. , если , . Ответ: . 11. , если , . Ответ: . 12. , если , . Ответ: . 13. , если , . Ответ: . 14. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент времени , если , . Ответ: , т. е. струна параллельна оси абсцисс. 15. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент времени , если , . Ответ: . 16. Однородная струна, закреплённая на концах и , имеющая в начальный момент времени форму , где - достаточно малое число, начала колебаться без начальной скорости. Найти форму струны при её свободных колебаниях. Ответ: . 17. Однородная струна, закреплённая на концах и , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведённого через точку . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют. Указание. Применить метод Фурье к решению уравнения при краевых условиях , , , . Ответ: . 18. Найти закон колебания струны, расположенной на отрезке [0,l], если в начальный момент времени струне придана форма кривой , а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют. Ответ: . Рекомендуемая литература Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Физматгиз, 1962. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. - М.: Интерал - Пресс, 2004. Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1975. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2.-М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2002. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. - М.: Наука, 1969. Годунов С. К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971. Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической физики. - М.: Высшая школа, 1973. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 2004. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. - М.: Изд-во МГУ, 1993. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1998. жүктеу/скачать 1,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|