Информационное письмо

Если каждой функции из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число V, то говорят, что на этом множестве задан функционал и пишут . Приведем примеры функционалов.

1. 
   Длина плоской кривой, заданной уравнением , :
   

2. 
   Вообще, любой определенный интеграл:
   

3. 
   Стоимость проезда по дорогам, имеющим вид кривых, соединяющих пункты и .
   

1. 
   Из всех кривых на плоскости, соединяющих точки и , найти ту, которая имеет наименьшую длину. Ответ очевиден: отрезок прямой, соединяющей точки и .
   

2. 
   Из различных дорог, соединяющих пункты и , выбрать ту, по которой стоимость проезда из в минимальна.
   

Большую роль в развитии вариационного исчисления сыграли следующие классические задачи.

1. Задача о брахистохроне — линии, по которой материальная точка быстрее всего соскальзывает под действием силы тяжести из точки в точку ( и не лежат на одной вертикали).

2. Задача о геодезической линии — линии наименьшей длины, расположенной на заданной поверхности и соединяющей две данные точки.

3. Задача Дидоны — ремешком данной длины ограничить участок земли наибольшей площади.

Функционалы в линейных нормированных пространствах. Функционал является обобщением понятия функции. Функция одной переменной ставит в соответствие одному числу другое число . Функция нескольких переменных ставит в соответствие конечной совокупности чисел x₁, ..., х_п число у. Функционал ставит в соответствие функции у = у(х) (бесконечному числу ее значений) число V.

Часто аргумент функционала — функцию у(х) — как элемент некоторого функционального пространства называют также "точкой".

Для изучения таких понятий, как приращение функционала, непрерывность функционала, экстремум функционала и многих других, существенно понятие "расстояния" между аргументами функционала — элементами различных линейных нормированных функциональных пространств. Такими пространствами являются, например:

С — пространство функций, непрерывных на сегменте ,