С. А. Лавренченко

Пример 1.2. Вычислить циркуляцию C F

жүктеу/скачать 129,71 Kb.

бет	3/4
Дата	03.03.2022
өлшемі	129,71 Kb.
	#134193
түрі	Лекция

1 2 3 4

Байланысты:
Реф. Д

Пример 1.2. Вычислить циркуляцию _CFdr векторного поля
F(x, y, z)  y²i  xjz²k
по ориентированному в положительном направлении относительно орта k контуру C , лежащему в сечении цилиндра x² y²1 плоскостью y  z  2.

Рис. 2. Поверхность — эллиптическая плоская область.
Решение: Хотя требуемую циркуляцию можно вычислить непосредственно, легче это сделать при помощи формулы Стокса. Вычисляем ротор поля F :
rotF   (1 2y)k .
Хотя существует много поверхностей с граничным контуром C , удобно выбрать в качестве  ограниченную C эллиптическую плоскую область в плоскости y  z  2, как показано на рис. 2. Чтобы контур C имел требуемую ориентацию, ориентируем поверхность  вверх. Проекция D поверхности  на плоскость Oxy — круг x² y²1. Сама  является графиком функции z  g(x, y)  2 y с областью
определения D . Вычисляем требуемую циркуляцию:
Fdr  [по формуле Стокса]
C

 _rotF  d [по формуле для вычисления
поверхностного интеграла 2-го рода]

 ^_ 0 ^_g_x 0 ^_g_y (1 2y)_^ dS  [дифференцируя g по x и y ]
_D_
  (1 2y)dS  [переходя к полярным координатам]
D
2 1
 0 d0 (1 2rsin)rdr 
2 r2 r3 _r1 2

 ₀ ₂ ²₃sin^__r₀d ₀  sind
_

 2cos 2  2 2 0 2. ■
2 3 ₀2 3  3


жүктеу/скачать 129,71 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4