С. А. Лавренченко

Пример 1.3. Используя формулу Стокса, вычислить поток  rotF

жүктеу/скачать 129,71 Kb. бет 4/4 Дата 03.03.2022 өлшемі 129,71 Kb. #134193 түрі Лекция

Бұл бет үшін навигация:

• Теорема 2.1 (формула Гаусса-Остроградского).
• Пример 2.2.

Пример 1.3. Используя формулу Стокса, вычислить поток  rotF  d ротора векторного поля F(x, y, z)  yzi  xz j xyk через  — верхнюю сторону части сферы x2  y2 z2 4, лежащей внутри цилиндра x2  y2 1 и над плоскостью Oxy . Решение: Координаты точек граничного контура C удовлетворяют системе уравнений x2  y2  z2  4  2 y2  1 x  откуда z2  3, и поэтому z  3 (так как z 0 ). См. рис. 3. Значит, C представляет собой окружность, определенную уравнениями x2  y2 1 и z  3 , или одним векторным уравнением в параметрической форме: r(t)  costi  sint j 3k (0 t 2) откуда r(t)  sinti cost j. Рис. 3. Часть сферы внутри цилиндра. Выражая функции-компоненты у F через t , получаем F(r(t))  3sinti  3cost jcostsintk . Вычисляем:   rotF  d [по формуле Стокса]   Fdr  [по формуле для криволинейного интеграла 2-го рода] C 2  F(r(t))  r(t)dt  0 2    3sin2 t  3cos2 t dt  0 2  3  cos2tdt  0. ■ 0 Формула Гаусса-Остроградского Для понимания материала этого раздела рекомендуется повторить тройные интегралы (лекции 4 и 5 из модуля «Кратные интегралы»). Будем предполагать, что E — тело (телесная область), являющееся одновременно 1-го, 2-го и 3-го типов, т. е. в пересечении тела E любой прямой, параллельной одной из координатных осей, получается отрезок или пустое множество точек. Такое тело будем называть простым телом. Например, выпуклые тела простые, а невыпуклые нет. Заметим, что границы простых ограниченных тел — замкнутые поверхности. Для таких поверхностей мы уже приняли соглашение (практическое занятие 6), что положительная ориентация соответствует внешним нормальным векторам, в то время как при отрицательной ориентации нормальные вектора направлены вовнутрь E . Теорема 2.1 (формула Гаусса-Остроградского). Пусть  — граничная (замкнутая) поверхность некоторого простого тела E с положительной ориентацией. Пусть F — векторное поле, функции-компоненты которого имеют непрерывные частные производные в некоторой открытой области, содержащей E . Тогда  F  d   div F dV . ■ E Знак  используется, чтобы подчеркнуть, что перед нами поверхностный интеграл по замкнутой поверхности. Пример 2.2. С помощью формулы Гаусса-Остроградского вычислить поток векторного поля F(x, y, z)  x2yi xy2jxyzk через всю поверхность тела E , ограниченного частью сферы x2  y2 z2  R2, лежащей в первом октанте, и координатными плоскостями. Нормаль внешняя. Решение: Вычисляем дивергенцию поля F : divF   (x2y)  (xy2)  (xyz)  2xy2xyxy  5xy . x y x Вычисляем поток поля F :  F  d  [по формуле Гаусса-Остроградского]   divFdV   5xydV  [переходя к сферическим координатам] E E 2 2 R  dd 5coscoscossin 2cosd 0 0 0 x y якобиан 2 2  R5  cossind cos3d 0 0 2 2  R5  cosd cos (1sin2)d sin 0 0 5 cos22 sin sin32   R  2 0   3 0   R5 0  11 1   2  3 R5  . ■ 3 жүктеу/скачать 129,71 Kb. Достарыңызбен бөлісу: