Экстремум бар болуының қажетті шарты. Егер нүктесі функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, функциясының нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда сол дербес туындылары міндетті түрде нольге тең болады, яғни (1)
Экстремумның жеткілікті шарттары (екі айнымалы жағдайы).
1 – теорема. Екі айнымалы сандық функциясы нүктесінің қайсыбір - маңайында анықталып, сол маңайда
дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:
(2)
Мынадай белгілеулер енгізейік:
(3)
. Онда 1) егер болса, онда локальді экстремум нүктесі болып, болғанда локальді қатаң минимум, болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады;
егер болса, онда нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;
егер болса, онда нүктесі туралы нақты ештеңе айтуға болмайды; ол локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.
Шартты экстремум. сандық функциясы жиынында анықталып, жиыны берілсін. Егер: 1°. нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса; 2°. а нүктесі Fжиынында жатып, сол жиынның шектік нүктесі болса, яғни а нүктесінің әрбір маңайында а-дан өзге болатын F жиынының нүктесі табылса; 3°. а нүктесінің белгілі бір маңайы мен F жиынында жатқан әрбір нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, яғни
( Vδ (a) болса, онда а нүктесін f функциясының F бойынша шартты максимум (шартты минимум) нүктесі деп атайды. Әдеттегідей, шартты максимум мен шартты минимум шартты экстремум деп аталады.
Шартты экстремумның кажетті шарты. Диференцианалданатын fфункциялары арқылы
ψ(x1,x2,...,xn) = f(x1,x2,...,xn,φ1(x1,x2,...,xn),..., φm (x1,x2,...,xn)) бойынша анықталған ψ(x1,x2,...,xn) күрделі функциясы да сол маңайда дифференциалданады. Сондықтан локальді экстремумның қажетті шарттын қолданып келесі теңдеуге келеміз:
(a1,a2,...,an)=0 ,... , (a1,a2,...,am)=0 бұған байланыс теңдеудері беретін
F1 (a1,a2,...,an+m)=0, ... , Fm (a1,a2,...,an+m)=0 теңдеулерін қосып, саны n+m болатын a1,a2,...,an+m белгісіз айнымалыларын табу үшін n+m теңдеу алдық. Осы теңдеулер шартты экстремумның қажеттін шартын құрайды.
