Сызықтық бейнелеудің координаталық көрінісі.
-нің базисі болсын, онда кеңістіктен ерікті вектордың бейнесі келесі күйде көрсетуге болады
. (1)
-нің базисі болсын, онда векторлардың әрқайсысы f базисында ыдырайды.
).
Егер онда (1) келесі күйде жазуға болады:
Осыдан
коэффициенты векторының координаттары, базисында матрицасын құрайды. матрицасы сызықтық опертордың матрицасы болып екептеледі.
матрицасы негізгі векторлардың координаталық бағаналарынан тұрады.
Егер cәйкесінше вектораларының координаталық бағандары болса, онда (2) теңдігі келесі форманы алады.
(3)
Теорема 1. Сызықтық бейнелеудің матрицасының рангі осы бейненің рангіне тең.
Дәлелдеу. негізгі минор орналасқан матрицасы бағандарының номерлері болсын. Бұл дегеніміз векторлары сызықтық тәуелді емес, сондықтан әр вектор - сызықтық комбинация (негізгі минордың теоремасы).
Сондықтан кез-келген векторының кескінін тек векторлармен өрнектеуге болады , яғни векторлар –де негіз құрайды картаның мәндер жиынтығы , бірақ олардың саны өлшеміне тең, яғни картаның дәрежесі, сондықтан rang
Базистерді ауыстыру кезінде сызықтық бейнелеу матрицасының өзгеруі.
сызықтық операторын қарастырайық: егер және кеңістіктерінде таңдалған базистер и сәйкесінше, онда матрицасы А арқылы анықталады.
және кеңістігіндегі және басқа базистер жұбы болсын, сәйкесінше өтпелі матрицалармен Т және Р байланысты, яғни
базистерінде матрицасы бар. қалай байланысты ?
- векторының образы делік. - векторының базисіндегі координаталық бағандар. векторының базисіндегі координаталық бағандар.
Бізге белгілі
X,Y-ті (3) формуласына қойып, келесі теңдікті аламыз:
Өтпелі матрица әрдайым түсініксіз болғандықтан, болады.
Cоңғы теңдіктін сол жағын
, но
осыдан базистерді ауыстыру кезінде сызықтық бейнелеу матрицасының өзгеру формуласын аламыз
Достарыңызбен бөлісу: |
