Алгебралық жүйе ұғымы

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	11/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 22

Байланысты:
Алгебра 10-15
100 верный икт, инв кен қысқа (2)

Топ ұғымы

Алгебралық жүйелердің кейбір түрлерінің математикада жиі кездесетіндігі сонша, тіпті оларды зерттеу өз алдына дербес теориялардың пәні болып кеткен. Топтар осындай алгебралық жүйелер арасында бәрінен қарапайым болады.

1-анықтама. Жалғыз бинарлы амалы бар ^〈𝐺,∘^〉алгебралық жүйесі берілсін. Егер келесі акиомалар:
𝐺1. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺(⁽𝑎 ∘ 𝑏⁾∘ 𝑐 = 𝑎⁽𝑏 ∘ 𝑐⁾) - ассоциативтік аксиомасы;
𝐺2. ∃𝑎 ∈ 𝐺∀𝑏 ∈ 𝐺(𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏) – 𝐺 жиынында бірліктің бар болу аксиомасы (сол бірлікті 𝑒 арқылы белгілейік);
𝐺3. ∀𝑎 ∈ 𝐺∃𝑏 ∈ 𝐺(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑒) – әр элементтің кері элементі бар болу аксиомасы (𝑏 элементін 𝑎 элементіне кері деп атаймыз да, 𝑎⁻¹ символмен белгілейміз)
орындалатын болса, онда ^〈𝐺,∘^〉агебралық жүйесі топ деп аталады. Егер қосымше мына коммутативтік аксиомасы:

𝐺4. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎)

ақиқат болса, онда топ коммутатив немесе абелдік тобы деп аталады. Топтың

o амалы көбейту деп аталады. Оны ⋅ символымен де белгілейді, кейде көбейту амалының символы өрнектерде жазылмауы да әбден мүмкін. Әдетте, абелдік топтарының амалы қосу деп аталады да, + символымен белгіленеді.

Әлбетте, ^〈ℤ, +^〉, ^〈ℚ, +^〉, ^〈ℝ, +^〉, ^〈ℝ\{0},⋅^〉, ^〈ℚ\{0} ⋅^〉абелдік топтарының мысалдары болады, мұндағы + және ⋅ кәдімгі сандарды қосу мен көбейту амалдары. ^〈𝕃, +^〉, ^〈ℙ, +^〉, ^〈𝕊, +^〉абелдік топтарының басқа мысалдары береді, мұндағы 𝕃, ℙ, 𝕊 сәйкес түзу бойындағы, жазықтықтағы және кеңістіктегі бағытталған кесінділер диындары, ал + векторларды қосу амалы. Егер [𝑎, 𝑏] векторлық көбейту амалы бар 𝑆 жиынын қарастырсақ, онда мұндай алгебралық жүйе топ болмайды, себебі 𝑖, 𝑗, 𝑘 векторларының үштігі үшін ассоциативтік аксиома орындалмайды. Шынында да, [^[𝑖, 𝑖^], 𝑘] = ^[𝜃, 𝑘^]=

𝜃, [𝑖, ^[𝑖, 𝑘^]] = ^[𝑖, −𝑘^]= 𝑘 бірақ 𝑘 ≠ 𝜃 (бұл жерде 𝑖, 𝑗, 𝑘 - кез келген декарттық базистің векторлары).

Тағы бірнеше мысал қарастырайық:

мысал. 𝑆(𝑀) – берілген 𝑀 жиынын өзіне бейнелейтін барлық биектив бейнелеулер жиыны болсын. 𝑆⁽𝑀⁾жиынында ∘ көбейту амалы ретінде бейнелеулердің біртіндеп орындалуын алайық, яғни 𝑀 жиынының әр 𝑥 элемені үшін

⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾⁽𝑥⁾= 𝑓(𝑔(𝑥))

теңдігі орындалатындай 𝑓 ∘ 𝑔 бейнелеуін анықтайық. Егер 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆(𝑀) болса, онда 𝑓 ∘ 𝑔 ∈ 𝑆(𝑀) болатын айқын. Демек, ∘ −𝑆(𝑀) жиынында анықталған алгебралық амал. ^〈𝑆⁽𝑀⁾,∘^〉алгебралық жүйесінің топ болатындығын көрсетейік. 𝑓, 𝑔, ℎ − 𝑆(𝑀) жиынының кез келген бейнелеулері болсын. ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) болатынын көрсетейік. Ол үшін теңдіктің екі жағында тұрған бейнелеулердің мәндері тең болатындығын, яғни кез келген 𝑥 ∈ 𝑀 үшін (⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ)(𝑥) = (𝑓 ∘ ⁽𝑔 ∘ ℎ⁾)(𝑥) болатынын көрсету керек. Кез келген 𝑥 ∈

𝑀 элементін алып, ℎ(𝑥) мәнін 𝑦 арқылы, 𝑔(𝑦) мәнін 𝑧 арқылы белгілейк.

Сонда

(⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ)⁽𝑥⁾= ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾(ℎ⁽𝑥⁾) = ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾⁽𝑦⁾= 𝑓(𝑔⁽𝑦⁾) = 𝑓(𝑧),

(𝑓 ∘ ⁽𝑔 ∘ ℎ⁾)⁽𝑥⁾= 𝑓(⁽𝑔 ∘ ℎ⁾⁽𝑥⁾) = 𝑓 (𝑔(ℎ⁽𝑥⁾)) = 𝑓(𝑔⁽𝑦⁾) = 𝑓(𝑧).

Ендеше, 𝐺1 аксиомасы ақиқат. 𝑆(𝑀) жиынында бірлік элемент ретінде кез келген 𝑥 ∈ 𝑀 үшін id⁽𝑥⁾= 𝑥 болатын теңбе-тең id бейнелеуін алу керек. Кез келген 𝑓 ∈ 𝑆(𝑀) бейнелеуі үшін кері болатын элемент, әлбетте, 𝑓 бейнелеуіне кері 𝑓⁻¹ бейнелеуі болады. Сонымен, ^〈𝑆⁽𝑀⁾,∘^〉топ болады.

мысал. Егер 1-мысалдағы𝑀 жиыны ретінде {1,2, … , 𝑛} жиынын алсақ және

𝑆(𝑀) жиынын 𝑆(𝑛) деп белгілесек, онда ^〈𝑆⁽𝑛⁾,∘^〉элементтерінің саны ақырлы болатын топтың немесе, қысқаша айтқанда, ақырлы топтың мысалы болады.

𝑆(𝑛) тобының элементтері 𝑛 дәрежелі ауыстырулар, ал ^〈𝑆⁽𝑛⁾,∘^〉тобы 𝑛

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 22