Алгебралық жүйе ұғымы

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	22/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Байланысты:
Алгебра 10-15
100 верный икт, инв кен қысқа (2)

Өрістегі кері амалдар

Өрістерде қарама қарсы және кері (0 нөлдігінен өзге элементке) элементтерді табу, сонымен қатар, азайту және нөлдік емес элементтерге бөлу амалдары анықталған. Өрісте көбейту коммутатив болғандықтан, 𝑎⁻¹ ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅

𝑎⁻¹ болады да, 𝑏 элементін 𝑎 ≠ 0 элементіне бөлгендегі солжақ және оңжақ

бөлінділер өзара тең болады. 𝑎⁻¹ ⋅ 𝑏 көбейтіндісі ^𝑏 бөлшек түрінде жазылады

𝑎

да, 𝑏 элементін 𝑎 элементіне бөлгендегі бөліндісі деп аталады. Өрістерге

бөлшектерге жасалатын амалдар кәдімгі ережелерге бағынады. Егер 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 болса, онда
^𝑎= ^𝑐↔ 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐,

𝑏 𝑑

𝑎 _±𝑐

𝑏 𝑑

₌𝑎⋅𝑑±𝑏⋅𝑐_,

𝑏⋅𝑑

₋𝑎

𝑏

₌−𝑎 ₌

𝑏

𝑎 _,

−𝑏

𝑎 _⋅𝑐

𝑏 𝑑

₌𝑎⋅𝑐_,

𝑏⋅𝑑

−1
(^𝑏)

𝑑

= ^𝑑.

𝑏

Мысалы үшін соңғысының алдындағы теңдікті дәлелдейік. 𝑏, 𝑑 өрістің нөлдік емес элементтері болсын. Онда

𝑎 𝑐

₍−1

_{) (}−1 ₎−1

₍−1 ₎

−1 ₍

₎−1

⋅ = 𝑏

𝑏 𝑑

��

��
- ��

= 𝑏

(𝑎 ⋅ 𝑑
��

) = 𝑏

( 𝑎 ⋅ 𝑐

𝑑 ) =

𝑏⁻¹ ⋅ (𝑑⁻¹ ⋅ ⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾) = ⁽𝑏⁻¹ ⋅ 𝑑⁻¹⁾⋅ ⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾= ⁽𝑑⁻¹ ⋅ 𝑏⁻¹⁾⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾= ⁽𝑏 ⋅ 𝑑⁾⁻¹⁽𝑎 ⋅

𝑐⁾= ^𝑎⋅𝑐.

𝑏⋅𝑑
Қалған теңдіктер осыған ұқсас дәлелденеді.

теорема. Кез келген ақырлы бүтіндік облысы өріс болады.

Дәлелдеу. 𝐾 ақырлы бүтіндік облысы, ал 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛оның нөлдік емес элементтері болсын. Әр 𝑎_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅, элементтің керіленетінін дәлелдеуіміз керек.
𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛
көбейтінділерін қарастырайық. Бұлардың барлығы нөлден өзге, себебі бүтіндік облысында тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ. Сонымен қатар, бұлар өзара тең емес. Шынында да, 𝑎_𝑖𝑎_𝑘= 𝑎_𝑖𝑎_𝑚егер болса, онда қысқарту ережесі бойынша 𝑎_𝑘= 𝑎_𝑚демек, 𝑘 = 𝑚. Сонымен екі жиынның

^{𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛^}= {𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛}
теңдігі орындалады. 𝐾 облысының 1 бірлігі 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛элементтерінің арасында бар, онда ол 𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛элементтерінің арасында да бар. Ендеше, бір 𝑗 индексі үшін 𝑎_𝑖⋅ 𝑎_𝑗= 1, яғни, 𝑎_𝑖керіленетін элемент болады. Дәлелдеу керегі де осы еді.

2.1-салдар. 𝐾 бірлігі бар, ақырлы коммутатив сақина болсын. Онда келесі тұжырымдар эквивалент:

𝐾 - өріс,
𝐾 - бүтіндік облысы.

Өрістің ішөрістері

Анықтама. Егер өрістің алгебралық ішжүйесі өзі де өріс болса, онда ол өрістің

ішөрісі деп аталады.

Әрине, ℚ өрісі ℝ, ℂ өрістерінің, сондай ақ, ℝ өрісі ℂ өрісінің ішөрісі болады. Ал ℤ сақинасы ℚ өрісінің ішсақинасы болғанымен, оның ішөрісі болмайды.

Өрістің ішөрістерін ажырататын шарттар келесі теоремада сипатталады.

4-теорема. ^〈𝔽; +,⋅^〉өрісінің 𝔽^̃ішжиыны ішөріс болуы үшін 𝔽^̃ең кемінде екі элементтен тұратын, өрістің қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтеріне бөлу амалдары бойынша тұйық жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. Қажеттілік. ^〈𝔽^̃; +,⋅^〉жүйесі . ^〈𝔽; +,⋅^〉өрісінің ішөрісі болсын. Онда

^〈𝔽^̃; +,⋅^〉өзі де өріс болады. Ендеше, 𝔽^̃жиынында кем дегенде екі элемент бар және ^〈𝔽^̃; +^〉, ^〈𝔽^̃\^{0^};⋅^〉алгебралық жүйелері абелдік топ болады. Ендеше, 𝔽^̃қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтерге бөлу амалдары бойынша тұйық.

Жеткіліктік. 𝔽 өрісінің 𝔽^̃ішжиынында кем дегенде екі элемент болсын да, 𝔽^̃қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтерге бөлу амалдары бойынша тұйық болсын. Онда ^〈𝔽^̃; +^〉және ^〈𝔽^̃\^{0^};⋅^〉алгебралық жүйелер болады да бұл жүйелер сәйкес ^〈𝔽; +^〉және 〈 𝔽\{0};⋅〉 топтарының ішкі жүйелері болады. Бұл жүйелер топ болатындығы айқын. 𝔽 өрістің негізгі амалдары коммутатив болғандықтан, бұл топтардың абелдік топтары болатындығы айқын. Өрістің негізгі амалдары коммутатив болғандықтан, бұл топтардың абелдік топтары болатындығы шығады. 𝔽 өрісінің барлық элементтері үшін көбейту мен қосу амалдары дистрибутивтік заң арқылы байланысқан, ендеше, дистрибутивтік заң 𝔽^̃элементтері үшін де орындалады. Демек, ^〈𝔽^̃; +,⋅^〉алгебралық жүйесі өріс болады. Теорема дәлелденді.
1-мысал. ℝ өрісінің ішөрістерінің бірін

ℚ(√2) = {𝛼 + 𝛽√2|𝛼, 𝛽 ∈ ℚ}

^{жиыны құрайды.}^ℚ(√²⁾^{жиынының 4-теорема негізінде өріс болатынын}көрсету оңай:

^{(𝛼1 + 𝛽1}√^{2) ± (𝛼2 + 𝛽2}√^{2) =}⁽^{𝛼1 ± 𝛼2}⁾⁺⁽^{𝛽1 ± 𝛽2}⁾√²^,

^𝛼₁^+𝛽₁√²₌^(𝛼₁^+𝛽₁√^2)(𝛼₂^−𝛽₂√²⁾₌⁽^𝛼₁^𝛼₂^+2𝛽₁^𝛽₂⁾⁺⁽^𝛼₂^𝛽₁^−𝛼₁^𝛽₂⁾√²_,

^𝛼₂^+𝛽₂√²

⁽^𝛼₂^+𝛽₂√²⁾⁽^𝛼₂^−𝛽₂√²⁾

𝛼²−2𝛽²

2 2
^яғни^ℚ(√²⁾^{қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге сандарға бөлу амалдары бойынша тұйық. Ендеше,}^ℚ(√²⁾^{шынында да}^ℝ^{өрісінің ішөрісі болады.}

^{1-ескерту.}^Әрине,^ℚ(^√²⁾^{өрісіне ұқсас}^ℚ(√^𝑛)^{де өріс болады. Бұл жерде}^{тек қана}√^𝑛^{иррационал болатын жағдайы қызық (кері жағдайда}^ℚ(√^{𝑛) = ℚ} болады).

Қалыңдылар сақиналары мен өрістері

ℤ_𝑛сақиналары ақырлы сақиналар мен ақырлы өрістердің үлгі мысалдары болып табылады. Сондықтан бұларға ерекше назар аудару қажет.

Қалыңдылар 𝑎̅ класы бүтін сандарды 𝑛 модулына бөлгендегі 0,1,2, … , 𝑛 − 1 қалдықтарымен толық сипатталады да, 0^̅, 1^̅, 2^̅, … , ^̅𝑛^̅^̅−^̅^̅^̅1^̅кластарының біреуіне тең болады. “Қайсысына?” деген сауалға қайтарылатын жауап мынадай: 𝑎 санын 𝑛 модулына бөліп, 𝑟 қалдығын табу керек, нәтижесінде 𝑎̅ = 𝑟̅ теңдігін аламыз. 𝑛 модулы бойынша қалыңдылар кластар жиынын ℤ_𝑛арқылы белгілегенбіз:

ℤ_𝑛= {0^̅, 1^̅, 2^̅, … , ^̅𝑛^̅^̅−^̅^̅^̅1^̅}.

ℤ_𝑛жиынында + қосу және ⋅ көбейту ережелерін естеріңізге салайық. Айталық,

𝑎̅, 𝑏^̅∈ ℤ_𝑛болсын. 𝑎̅, 𝑏^̅жиындарының әрқайсысынан бір-бірден 𝑎₁, 𝑏₁сандарын алып,

_𝑎_̅₊_𝑏̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅̅₊̅̅̅_𝑏̅̅̅₎_,_𝑎_̅_⋅_𝑏̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅_𝑏̅̅̅₎

1 1 1 1

деп анықтағанбыз. Осы ереженің 𝑎₁мен 𝑏₁сандарының таңдауына тәуелсіздігін де атап өткенбіз.

теорема. 𝑛 кез келген нөлден өзгеше натурал сан болсын. Онда

ℤ_𝑛- бірлігі бар коммутатив сақина;
ℤ_𝑛сақинасы 𝑛 жай сан болған жағдайда және тек сол жағдайда ғана өріс болады.

Дәлелдеу. 1) ℤ_𝑛үшін сақина аксиомаларының орындалуы сол аксиомалардың

ℤ үшін орындалатындығынан шығады. Мысал үшін,

(𝑎̅ + 𝑏^̅) + 𝑐̅ = 𝑎̅ + (𝑏^̅+ 𝑐^̅)

ассоциативтілік аксиомасының орындалуының тексеру жолын көрсетейік. Кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 бүтін сандары үшін ⁽𝑎 + 𝑏⁾+ 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) теңдігі орындалатындықтан, сәйкес қалыңдылар кластары да тең болады:

̅_𝑎̅̅₊̅̅̅₍̅_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅̅₎₌^̅₍^̅_𝑎^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑏^̅^̅₎^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑐^̅_. Қалыңдылар кластарын қосу анықтамасы бойынша

̅₍̅_𝑎̅̅₊̅̅̅̅_𝑏̅₎̅̅₊̅̅̅_𝑐̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅₊̅̅̅_𝑏̅̅₎₊_𝑐_̅_,

^̅𝑎^̅^̅+^̅̅^̅𝑏^̅= 𝑎̅ + 𝑏^̅,

̅_𝑎̅̅₊̅̅̅₍̅_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅̅₎₌_𝑎_̅₊₍^̅^̅_𝑏^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑐^̅^̅₎_,_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅ ₌_𝑏̅ ₊_𝑐_̅_.Осыдан дәлелдеуге керек теңдігіміз шығады.

ℤ_𝑛жиынында нөлдік элемент, әлбетте, қалыңдылардың 0^̅нөлдік класы, бірлік элемент 1^̅класы, ал 𝑎̅ класына қарама-қарсы −̅̅̅𝑎̅ = 𝑛̅̅̅−̅̅̅𝑎̅ класы болады.

2) тұжырымды дәлелдеу үшін өрістерге қатысты тақырыптың 2.1- салдарды пайдаланайық. Екі жағдайды қарастырамыз.

1-жағдай. 𝑛 құрама сан болсын. 𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑘, 1 < 𝑚, 𝑘 шарттары орындалатын 𝑚, 𝑘 натурал сандарын қарастырайық.

𝑚̅ ⋅ 𝑘^̅= ^̅𝑚^̅^̅𝑘^̅= 𝑛̅ = 0^̅𝑚̅ ≠ 0^̅, 𝑘^̅≠ 0^̅

болғандықтан, ℤ_𝑛сақинасында тривиал емес 𝑚̅, 𝑘^̅нөл бөлгіштері бар. Ендеше, ℤ_𝑛өріс емес.

жағдай. 𝑛 жай сан болсын. ℤ_𝑛сақинасында көбейту амалы үшін қысқарту ережесі орыдалуын көрсетейік. Айталық,

𝑎̅, 𝑏^̅, 𝑐̅ ∈ ℤ_𝑛, 𝑎̅ ≠ 0^̅, 𝑎̅𝑏^̅= 𝑎̅𝑐̅

болсын. Онда

^̅𝑎^̅𝑏^̅= 𝑎̅̅𝑐̅. Демек, бір 𝑘 ∈ ℤ үшін 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑘 ⋅ 𝑛 теңдігі

орындалады. 𝑛 жай саны 𝑎(𝑏 − 𝑐) көбейтіндісін бөледі, ал 1 < 𝑎 < 𝑛 деуге болады. Ендеше, 𝑛 саны 𝑏 − 𝑐 айырымын бөлуге тиіс. Демек, 𝑏^̅= 𝑐̅. Сақиналарға қатысты тақырыптағы 3-теорема бойынша, ℤ_𝑛сақинасында тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ. Онда өрістерге қатысты тақырыптың 2.1- салдары бойынша, ℤ_𝑛өріс болады.

Өріс сипаттамасы

Өріс аксиомалары ℝ нақты сандар өрісіндегі кәдімгі қосу және көбейту амалдарының қасиеттері негізінде құрастырылғаны бірден көрініп тұр. Осы себептен нақты сандардың қасиеттері өрістерде де орындалатындығы түсінікті. Сонымен бірге, 𝑝 жай сан болса, ℤ_𝑝өрісінің кейбір қасиеттері сандар өрістерінде орындалмайтынын да байқауға болады. Мысалы, ℤ_𝑝өрісі ақырлы, ал ℚ мен ℝ өрістері шексіз. Не болмаса, бірліктен өзге элементтері өзіне өзі кері болуы мүмкін. Мысалы, ℤ₃өрісінде ⁽2^̅⁾⁻¹= 2^̅. Сандар өрістерінің басқа өрістерге қарағанда ерекшелігі бірліктің қандай да болса еселігінің нөлге тең еместігіне байланысты.

анықтама. 𝑛 оң натурал сан, 𝔽 өріс, ал 𝑎 осы өрістің кез келген элементі болсын. 𝑎 элементтің еселігі деп 𝔽 өрісінің

𝑛𝑎 = 𝑎⏟ + 𝑎 + ⋯ + 𝑎

𝑛 рет

элементін айтамыз.

Егер 𝔽 қандай да бір сандық өрісі болса, онда 𝑎 элементінің 𝑛-еселігі 𝑛 натурал саны мен 𝑎 санының кәдімгі көбейтіндісіне тең. Ал кез келген өрісте натурал санға көбейту амалының жоқ болуы да әбден мүмкін - осыны есте сақтаған жөн. Енді өте пайдалы 𝑛𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑛1 теңдігін шығарайық, бұл жерде 1 - өріс бірлігі.

^𝑛^𝑎⁼^𝑎^⏟⁺^𝑎⁺^⋯⁺^𝑎⁼^𝑎^⏟^⋅¹⁺^𝑎^⋅¹⁺^⋯⁺^𝑎^⋅¹⁼^𝑎⏟ ^⋅⁽ ¹ ⁺ ¹ ⁺ ^⋯ ⁺ ¹ ⁾⁼^𝑎^⋅^𝑛¹

𝑛 рет

Егер өріс бірлігіне қарама-қарсы −1 элементінің 𝑛(−1) еселігін қарастырсақ, онда келесі теңдікке келеміз:

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 > 𝑛 болса;

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= {^{0, егер 𝑚 = 𝑛}^болса;

⁽𝑛 − 𝑚⁾⁽−1⁾, егер 𝑚 < 𝑛 болса.

Мұнда 𝑚 мен 𝑛 оң сандар. Дербес 𝑚 = 𝑛 жағдайында 𝑛1 + 𝑛⁽−1⁾= 0, яғни

𝑛(−1) элементі 𝑛1 элементіне қарама-қарсы болады. Демек, −(𝑛1) = 𝑛(−1). Енді (−𝑛)1 деп, осы 𝑛1 элементіне қарама-қарсы, ал ⁽0⁾1 деп өріс нөлдігін белгілесек, онда жоғарыдағы теңдікті былай өзгертіп жазуға болады:

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 > 𝑛 болса;

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= {⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 = 𝑛 болса;

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 < 𝑛 болса.

Демек,

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= 𝑛⁽−1⁾+ 𝑚1 = 𝑚1 + ⁽−𝑛⁾1 = (𝑚 − 𝑛)1.

Бұл теңдіктердегі 𝑚 мен 𝑛 натурал сандар болатын. Ал плюс немесе минус таңбаларымен қарастырылған натурал сандар барлық бүтін сандарды береді. Ендеше, кез келген 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ үшін 𝑚1 ± 𝑛1 = (𝑚 ± 𝑛)1.

анықтама. 𝔽 кез келген өріс, ал 1 өріс бірлігі болсын. Егер барлық 𝑛 > 0 натурал сандары үшін 1 бірлігінің 𝑛-еселігі өріс нөлдігінен өзге, яғни 𝑛1 ≠ 0 болса, онда 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы деп 0 саны аталады. Кері жағдайда,

𝑛1 = 0 теңдігін қанағаттандыратын ең кіші натурал 𝑛 > 0 саны 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы деп аталады.

Әрине, кез келге сандық өріс сипаттамасы 0 болады. Егер 𝑝 жай сан болса, онда ℤ_𝑝сақинасының өріс сипаттамасы 𝑝 санына тең. Себебі

𝑝1^̅= 1⏟^̅ + 1^̅ + ⋯ + 1^̅= ^̅⏟1^̅^̅ +^̅^̅ ^̅1 ^̅^̅+ ^̅̅^̅ ⋯^̅^̅ ^̅+ ^̅^̅ ^̅1^̅= 𝑝̅ = 0^̅,

𝑝 рет

ал 𝑛 < 𝑝 болса, онда 𝑛1^̅= 𝑛̅ ≠ 0^̅.

𝑝 рет

теорема. 𝑝 саны 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы болсын. Онда

егер 𝑝 ≠ 0 болса, онда 𝑝 жай сан болады да, кез келген 𝑎 ∈ 𝔽 үшін оның 𝑝- еселігі өріс нөлдігіне тең:𝑝𝑎 = 0;
егер 𝑝 ≠ 0, ал өріс бірлігінің 𝑛-еселігі нөлге тең болса, онда 𝑛 саны 𝑝 санына бөлінеді;

3 егер 𝑝 = 0 болса, онда кез келген натурал 𝑛 > 0 саны және 𝔽 өрісінің нөлдігінен өзге кез келген 𝑎 ∈ 𝔽 элементі үшін 𝑛𝑎 ≠ 0.

Дәлелдеу. 1) Кері жорып, 𝑝 құрама сан болсын делік те, оның 𝑝 = 𝑚 ⋅ 𝑘 жіктеуін алайық. Бұл жерде 1 < 𝑚, 𝑘. Онда 𝑚1 ≠ 0, 𝑘1 ≠ 0, ал 𝑝1 = ⁽𝑚1⁾⋅ ⁽𝑘1⁾= 0. Демек, 𝑚1 мен 𝑘1 тривиал емес нөл бөлгіштері болады. Ал өрісте ондай бөлгіштер болуы мүмкін емес. Яғни, 𝑝 - жай сан.

𝑛1 = 0 болсын деп 𝑛 санын 𝑝 санына қалдықпен бөлейік: 𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑝 +

𝑟, бұл жерде 𝑚 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑟 < 𝑝. Осыдан

𝑛1 = ⁽𝑚 ⋅ 𝑝 + 𝑟⁾1 = ⁽𝑚 ⋅ 𝑝⁾1 + 𝑟1 = 𝑚⁽𝑝1⁾+ 𝑟1 = 𝑟1 = 0.

Ал өріс сипаттамасы нөлге тең бірлік еселіктерінің арасында ең кішісін анықтайды. Демек, 𝑟 = 0. Ендеше, 𝑛 саны 𝑝 санына қалдықсыз бөлінеді.

𝔽 өрісінің сипаттамасы 0 саны болсын. Кері жорып, 𝑛𝑎 = 0 орындалатындай 𝑛 ∈ ℕ\{0} және 𝑎 ∈ 𝔽\{0} табылсын делік. Онда 𝑛𝑎 = 𝑎 ⋅⁽𝑛1⁾= 0. Өрісте нөлдің тривиал бөлгіштері жоқ болғандықтан, не 𝑎 = 0, не

𝑛1 = 0. Бұл жағдайдың екеуі де қайшылыққа апарады.

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22