Шаршылық тұлғаның үш кескіні

шаршылық тұлға болады. Бұл көпмүшені:
2 −3 1
𝑥₁

немесе

^{𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ (}−5 −1 6

1 0 −3

^{) ∙ (𝑥}2⁾

𝑥₃

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃⁾ = 2𝑥² − 8𝑥₁𝑥₂ + 2𝑥₁𝑥₃ − 𝑥² + 6𝑥₂𝑥₃ − 3𝑥²

немесе

1 2

2 −8 2

3

𝑥₁

^{𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ (}0 −1 6

0 0 −3

^{) ∙ (𝑥}2⁾

𝑥₃

түрінде де өрнектеуге болады.

1. 
   мысал шаршылық тұлғалардың біртекті көпмүше түріндегі кескіндерінің бірнешеу болатынын көрсетеді. Және бұл мысалдағы 3-ретті шаршы
   

матрицалар екі түрлі болып шықты. Бұл кемістіктен арылу үшін шаршылық тұлғалардың тек симметриялы матрицаларын қарастырамыз. Сонымен қатар,

𝐹 көпмүшесін симметриялы түрге келтіру қиын емес. Ол үшін 𝑥_𝑖𝑥_𝑗және 𝑥_𝑗𝑥_𝑖

симметриялы болады.

⁽−4 −1 3 ⁾

1 3 −3

Сонымен, шарылық тұлғаның бірінші кескіні ретінде, әдетте, оның коэффиценттері алдын ала симметрияланған

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾ = ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗 = ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗

𝑗=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑗=1

Көпмүшесі түрінде екі өрнегі де қарастырылады. Бұл кескіндерде барлық 𝑖, 𝑗

Үшін 𝛼_𝑖𝑗 = 𝛼_𝑗𝑖, яғни шаршылық тұлғаның 𝐴 = (𝛼_𝑖𝑗) матрицасы симметриялы матрица болады.

Шаршылық тұлғалардың екінші және үшінші кескіні олардың симметриялы қос сызықтық тұлғалары және қос сызықтық функционалдармен өзара

байланыстың салдары болады. 𝔞: 𝑋 × 𝑋 → ℝ қандай да бір симметриялы қос сызықтық функционал болсын. Онда кез келген 𝑥 𝜖 𝑋 үшін ℱ⁽𝑥⁾ = 𝔞(𝑥, 𝑥) теңдігімен анықталған ℱ: 𝑋 → 𝑋 функционалы шаршылық функционал деп аталады. ℱ шаршылық функционал берілсе, онда 𝔞 қос сызықтық

функционалын

𝔞⁽

𝑥, 𝑦⁾ =

¹ (ℱ

2

⁽𝑥 + 𝑦⁾

− ℱ⁽𝑥⁾

− ℱ⁽𝑦⁾)

теңдігімен қайта алуға

болады. Яғни қос сызықтық 𝔞 функционалы мен шаршылық ℱ функционалы арасында тығыз байланыс бар. Осылай анықталған қос сызықтық 𝔞

функционалы ℱ шаршылық функционалының поляр функционалы деп аталады.

𝑋 кеңістігінде 𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑛 қандай да бір базисін алып, 𝑥, 𝑦векторларын,

әдеттегідей, осы базистегі (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)´ және ⁽𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛⁾´координаталық

𝑖=1
𝐺⁽𝑥, 𝑦⁾ = 𝑦´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 = ^∑𝑛

𝑛

∑
𝑗=1

^𝛼𝑖𝑗^𝑥𝑗^𝑦𝑖

(1)

қос сызықтық тұлғасына келеміз. Бұл жерде 𝛼_𝑖𝑗 = 𝛼_𝑖𝑗 = 𝔞(𝑒_𝑖, 𝑒_𝑗) = 𝔞(𝑒_𝑗, 𝑒_𝑖).

Онда ℱ⁽𝑥⁾ = 𝔞⁽𝑥, 𝑥⁾ шаршылық функционалының координаталық түрі

𝑛 𝑛

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝐺⁽𝑥, 𝑥⁾ = 𝑥´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 = ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑦_𝑗

𝑖=1 𝑗=1
Шаршылық түрі болады. Осыдан𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾ = 𝐹⁽𝑥⁾ шаршылық тұлғасының

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝑥´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥

екінші кескініне келеміз.

Әлбетте, 𝐴 матрицасы берілген болса, онда𝐹 көпмүшесінің мәндері оңай есептеледі. Керісінше 𝐹 көпмүшесінің мәндерін есептеудің қандай да бір

ережесі белгілі болса, онда 𝐴матрицасының элементтерін табу оңай. Мысалы,

1

𝑎₂₂ = 𝐹⁽0,1,0, … ,0⁾, ал𝛼₁₂ = 𝛼₂₁ = ₂ 𝐹⁽1,1,0, … ,0⁾.

Шаршылық тұлғаның үшінші кескіні қос сызықтық тұлғаның 107.4- формуладағы кескіннен шығады. Сол формулада 𝑦 = 𝑥 деп алсақ, онда

𝐹⁽𝑥⁾ = (𝐴 ∙ 𝑥, 𝑥)

түріндегі 𝐹⁽𝑥⁾ шаршылық тұлғасының үшінші кескінін аламыз. Бұл

кескіннің ұтымдылығы мынада: 𝐴 ∙ 𝑥көбейтіндісін бір 𝒜 симметриялы сызықтыө түрлендіруінің 𝑥 векторына қатысты 𝒜(𝑥)бейнесі ретінде

қарастырсақ, онда симметриялы операторлардың теориясын қолдануға толық мүмкіндік аламыз.

Конгруэнт шаршылық тұлғалар

2. 
   анықтама:Егер екі шаршылық тұлғаның біреуін екіншісіне
   

айнымалылардың ерекше емес сызықтық түрлендіруі арқылы көшіруге болатын болса, онда бұл тұлғалар конгруэнт деп аталады. Әлбетте,

конгруэнт шаршылық тұлғалардың айнымалылар саны бірдей болады.