Алгебралық жүйе ұғымы

Сақинаның ішсақиналары

4. 
   анықтама. Егер сақинаның алгебралық ішжүйесі өзі де сақина болса, онда ол сақинаның ішсақинасы деп аталады.
   

Жалғыз нөлдік элементтен немесе барлық элементтерінен тұратын сақинаның ішжиыны оның ішсақинасы болатындығы айқын.

2ℤ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ тізбегінің әрбір мүшесі одан кейін орналасқан әр сақинаның ішсақинасы болады. ℤ₃ сақинасы ℤ₄ сақианасының ішсақинасы болмайды (бұның себебі қандай?), ℕ алгебралық жүйесі де ℤ сақинасының ішсақинасы болмайды бірақ өзге (қандай?) себептен.

Сақинаның ішсақиналары келесі теоремада сипатталады.

5. 
   теорема. ^〈𝐾; +,⋅ ^〉 сақинасының бос емес 𝐾^̃ ішжиыны ішсақина болуы үшін
   

теореманың қажеттілік шарты бойынша, 𝐾^̃ қарама-қарсы элементтерін табу амалдары бойынша тұйық.

5. 
   теорема бойынша, ^〈𝐾^̃; + ^〉 алгебралық жүйесі ^〈𝐾; + ^〉 тобының іштобы болады. ендеше 𝐾^̃ жиынында сақинаның R1 − R3 аксиомалары орындалады. R4, R5, R6a және R6b аксиомалары 𝐾 жиынының барлық элементтері үшін, дербес жағдайда, 𝐾^̃ ⊆ 𝐾 элементтері үшін де орындалады. Демек, ^〈𝐾^̃; +,⋅ ^〉 сақина болады.
   

5. 
   анықтама. ^〈𝐾; +,⋅ ^〉 кез келген сақина, 𝑎, 𝑏 оның қандай да бір элементтері болсын. ^〈𝐾; + ^〉 абелдік тобы болғандықтан, ондағы 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 теңдеуінің жалғыз шешімі бар. Сол шешімді 𝑏 мен 𝑎 элементтерінің айырымы, ал (𝑏, 𝑎) реттелген жұбына 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 теңдеуінің шешімін сәйкес қоятын амалды азайту амалы деп атаймыз.
   

𝑏 мен 𝑎 элементтерінің айырымын 𝑏 − 𝑎 арқылы белгілейміз. 𝑎 + 𝑥 = 𝑏

теңдеуінің шешімі 𝑥 = 𝑏 + (−𝑎) формуласымен белгілегендіктен
𝑏 − 𝑎 = 𝑏 + (−𝑎).

56.6.1-салдар. ^〈𝐾; +,⋅ ^〉 сақиансының бос емес 𝐾^̃ ішжиыны ішсақина болуы үшін 𝐾^̃ қосу, көбейту және азайту амалдары бойынша тұйық жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. 5-теореманың дәлелдеуінде өткен лекцияның 5-теореманың орнына 5.2-салдарды пайдалану керек.