Алгебралық жүйе ұғымы

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	15/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 22

Байланысты:
Алгебра 10-15
100 верный икт, инв кен қысқа (2)

теорема (Кэли теоремасы). Кез келген топ бір ауыстырулар тобына изоморф болады.

Дәлелдеу. 1-теорема мен оның салдары бойынша кез келген ^〈𝐺,⋅^〉тобының ^〈𝑆(𝐺),∘^〉симметриялы тобына изоморф енгізуін табу жеткілікті. Алдымен әр 𝑎 ∈ 𝐺 элементі үшін 𝑎̃: 𝐺 ↦ 𝐺 бейнелеуін мына ережемен 𝑎̃⁽𝑏⁾=

𝑎 ⋅ 𝑏, 𝑏 ∈ 𝐺, анықтайық. Енді 𝑎̃ инъектив бейнелеу екендігін байқайық. Шынында да, 𝑎̃⁽𝑏⁾= 𝑎̃(𝑐), яғни 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑐 болса, онда қысқарту ережесі бойынша 𝑏 = 𝑐. Сонымен қатар, кез келген 𝑏 ∈ 𝐺 үшін 𝑎𝑥 = 𝑏 немесе 𝑎̃(𝑥) =

𝑏 теңдеуінің шешімі бар болғандықтан, 𝑎̃ бейнелеуі сюръектив болады. Осыдан 𝑎̃ ∈ 𝑆(𝐺).

Енді 𝜑: 𝐺 ↦ 𝑆(𝐺) бейнелеуін 𝜑⁽𝑎⁾= 𝑎̃, 𝑎 ∈ 𝐺 формуласымен анықтайық. Егер 𝜑⁽𝑎⁾= 𝜑⁽𝑏⁾болса, онда кез келген 𝑥 ∈ 𝐺 үшін

𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑎̃⁽𝑥⁾= 𝑏^̃⁽𝑥⁾= 𝑏 ⋅ 𝑥

өзара бір мәнді бейнелеу. Кез келген 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 үшін 𝜑⁽𝑎 ⋅ 𝑏⁾= 𝜑𝑎 ⋅ 𝜑𝑏, яғни, 𝑎^̃𝑏 = 𝑎̃ ⋅ 𝑏^̃, теңдігінің орындалатындығын көрсетейік. Ол үшін 𝑎^̃𝑏 және

𝑎̃ ⋅ 𝑏^̃бейнелеулерінің мәндері тең болатындығын көрсету керек. 𝑥 ∈ 𝐺 болсын. Онда 𝑎^̃𝑏⁽𝑥⁾= ⁽𝑎𝑏⁾⋅ 𝑥 = 𝑎̃ (𝑏^̃⁽𝑥⁾) = (𝑎̃ ∘ 𝑏^̃)(𝑥). Сонымен, 𝜑: 𝐺 ↦ 𝑆(𝐺) бейнелеуі өзара бір мәнді және амалдарды сақтайды. Теорема дәлелденді.

Егер топ коммутатив болса, онда оның амалын аддитив түрінде жазады да, амалды қосу деп атайды. Бұл жағдайда терминология мен белгілеулерді келесі сөздікті пайдалану өзгертеді.

Көбейту ⋅	қосу +
көбейтінді 𝑎 ⋅ 𝑏	қосынды 𝑎 + 𝑏
бірлік 𝑒, 1	нөл 0
кері 𝑎⁻¹	қарама-қарсы −𝑎
дәреже 𝑎^𝑛	есе 𝑛𝑎
бөлінді 𝑎\𝑏, 𝑏/𝑎	айырым 𝑎 − 𝑏

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 22