Дәрежелік қатарларды дифференциалдау және интегралдау. Теорема 1. Егер (9) дәрежелік қатардың жинақталу радиусы болып және кесіндісі бүтіндей (9) қатардың жинақталу интервалының ішінде жатса, онда (9) қатар кесіндісінің кез келген нүктесінде интегралданады.
Теорема 2. Егер (9) дәрежелік қатардың жинақталу радиусы болса, (9) қатар жинақталу интервалының ішінде жатқан кез келген нүктеде мүшелеп дифференциалданады.
Дәрежелік қатарды мүшелеп дифференциалдау және интегралдау арқылы алынған қатардың жинақталу радиусы алғашқы қатардың жинақталу радиусына тең болады және олардың жинақталу интервалының ішіндегі қосындысы алғашқы қатардың қосындысының сәйкес туындысына және интегралына тең.
Сонымен, егер болса, онда
, .
Ескерту. Дәрежелік қатарды мүшелеп дифференциалдау және интегралдау операциясын қалауымызша жасай беруге болады. Сондықтан, дәрежелік қатардың жинақталу интервалының ішіндегі қосындысы шексіз дифференциалданатын функция болады.
ФУНКЦИЯЛАРДЫ ДӘРЕЖЕЛІК ҚАТАРЛАРҒА ЖІКТЕУ
1. Бір айнымалы функцияның Тейлор қатары. Анықтама. Айталық, нақты функциясы қандай да бір нүктесінің маңайында анықталған және осы нүктеде барлық ретті туындылары бар болсын. Онда келесі қатар
Тейлор қатары деп аталады.
Айталық, функциясы нүктесінде шексіз рет дифференциалданатын болсын.
(1)
-оның Тейлор қатары, ал
ретті дербес қосындысы.
- функциясының Тейлор формуласының қалдық мүшесі .
Сонымен,
(2)
функциясының Тейлор формуласы.
функциясы нүктесінің маңайында өзінің Тейлор қатарының қосындысына тең болуы үшін Тейлор формуласының қалдық мүшесі осы маңайда кезде нөлге ұмтылу керек, яғни
.
Шынында, егер бұл шарт орындалса, онда (2) формуладан шығады, яғни (4.1) қатардың қосындысы болады.
Теорема. Егер функциясы интервалында рет үзіліссіз дифференциалданатын болса, онда барлық үшін оның (2) Тейлор формуласының мүшесін келесі үш түрде жазуға болады:
(3)
(4)
мұнда шеттері және нүктелері болатын интервалда жатады, яғни , және
(5)
мұнда .
(3) формула Тейлор формуласының қалдық мүшесінің интегралдық түрі деп аталады. (4) формула Лагранж түрі, ал (5) – Коши түрі.
саны -тен және -нен тәуелді.
Теорема. Егер функцияның нүктесінің маңайында шектелген барлық туындылары бар болса, онда функция нүктесінің қандай да бір маңайында дәрежелік қатарға жіктеледі.
